Bonjour! pouvez vous m'aider pour mon DM de maths ? :) je n'y arrive pas du tout.. Un importateur de café achète deux variétés de café : la variété A est vendue 9€ par kilogramme et la variété B est vendue 7€ par kilogramme. Afin de satisfaire aux multiples demandes sa clientèle, il décide de réaliser des mélanges avec ces deux catégories. Le prix du kilogramme de mélange dépend des proportions utilisées pour A et pour B. Questions : 1) a. Calculer le prix du kilogramme de mélange M1 dont la moitié est de variété A. b. Calculer de même, le prix du kilogramme de mélange M2 contenant 1/4 de variété A. c. Calculer enfin, le prix du kilogramme de mélange M3 contenant 2/5 de variété B. 2) On désigne par x , la proportion de variété A dans le mélange. a. Quelles sont les valeurs possibles pour x ? b. On désigne par p(x), le prix d'un kilogramme de mélange. Montrer que l'on a p(x)=2x+7. 3) Quel est le sens de variation de p ? 4) Tracer la représentation graphique de p. 5) Comment réaliser le mélange si on veut le vendre à 7,50€ ? et, si on veut le vendre à plus de 8€ ? 6) Peut-on fabriquer un mélange coûtant plus de 9€ ? moins de 7€ ?

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Réponses

2013-07-12T21:19:47+02:00

1)   a.   Si le mélange M1 est composé pour la moitié de variété A

                                                      et donc pour la moitié de variété B, son prix est :

 

                                                   1/2 × 9 €  +  1/2 × 7 €   =   8 €

 

       b.   Si le mélange M2 est composé pour un quart de variété A

                                                       et donc pour trois quarts de variété B, son prix est :

 

                                                  1/4 × 9 €  +  3/4 × 7 €   =   7,5 €

 

       c.   Si le mélange M3 est composé pour 2/5 de variété B

                                                       et donc pour 3/5 de variété A, son prix est :

 

                                                   3/5 × 9 €  +  2/5 × 7 €   =   8,2 €

 

 

2)   a.   Puisque :
             —   si l'on ne met pas de café de variété A dans le mélange, il y en a 0 % soit un rapport de 0 et donc x = 0,
             —   si l'on ne met que du café de la variété A dans le mélange, il y en a 100 % soit un rapport de 1 et donc x = 1,
             —   si entre 0 % et 100 % du mélange sont composés de la variété A, il y a un rapport situé entre 0 et 1 et donc 0 < x < 1.

            Les valeurs possibles pour x sont donc comprises dans l'intervalle [0 ; 1]. 

 

 

       b.   Puisque x est nécessairement situé entre 0 et 1 et que B est le ce qu'il manque à x pour avoir 1, on a :
                                           p(x)  =  9 x + 7 (1 - x)
                                                    =  9x - 7x + 7
                                                    =  2x + 7

 

 

3)   Puisque le coefficient directeur de la fonction affine 2x + 7 est positif (2), la fonction est croissante pour tout x et donc pour l'intervalle [0 - 1].

 

 

4) Cf. fichier joint.

 

 

5) Si l'on veut vendre le mélange 7,50 €, alors :

                p(x) = 7,50     soit    2x + 7  =  7,50
                                                         2x  =  0,50
                                                           x  =  0,25 = 1/4

 

     Si l'on veut le vendre plus de 8 €, alors :
               p(x) > 8           soit     2x + 7  >  8
                                                         2x  >  1
                                                           x  >  1/2

 

 

6)   Comme x ∈ [0 ; 1] et que :
       —   p(0)  =  2(0) + 7  =  7
       —   p(1)  =  2(1) + 7  =  9

       On a      7  ≤  p(x)  ≤  9

 

       On ne peut donc fabriquer un mélange coûtant plus de 9 € ou moins de 7 €.