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2014-03-01T22:55:50+01:00
Bonsoir,

La somme des mesures des angles d'un triangle vaut 180°.
Dans le triangle BOC, 

\widehat{OBC}+\widehat{OCB}+\widehat{BOC}=180^o\\\\\widehat{OBC}+\widehat{OCB}+115^o=180^o\\\\\widehat{OBC}+\widehat{OCB}=180^o-115^o\\\\\widehat{OBC}+\widehat{OCB}=65^o


Le centre du cercle inscrit dans un triangle est le point d'intersection des trois bissectrices des angles de ce triangle.
==> (BO) est bissectrice de l'angle OBC
D'où   \widehat{ABC}=2\widehat{OBC}

(CO) est bissectrice de l'angle OCB
D'où   \widehat{ACB}=2\widehat{OCB}

On en déduit que \widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2\widehat{OCB}+2\widehat{OCB}\\\\\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2(\widehat{OCB}+\widehat{OCB})\\\\\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2\times65^o\\\\\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=130^o

Dans le triangle ABC, 

\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^o\\\\130^o+\widehat{BAC}=180^o\\\\\widehat{BAC}=180^o-130^o\\\\\widehat{BAC}=50^o
N'est-ce pas plutôt ABC + ACB = 2OCB + 2OBC et non pas 2OCB + 2OCB ?