URGENT ! Bonjour, DM sur les probabilités. Voici l'énoncé :
Un QCM est noté sur 9 points (3 questions : +3 points si bonne réponse et -1 point si mauvaise réponse). Le nombre de points obtenus par l'élève (Maxime) sur cet exercice (qui peut être négatif) défini une variable aléatoire S.
Soit X la variable désignant le nombre de BONNES réponses obtenues par l'élève. J'ai l'espérance, l'écart-type et la loi de proba de X.
1) Montrer que l'on a S = 4X-3
2)Quelle est la relation entre E(S) et E(X)
3)Si la pénalité par réponse fausse avait été de 3 points (et non de 1) quelle aurait été l'expression de la note S' en fonction de X ? Quelle note Maxime aurait-il pu espérer ?
Merci d'avance pour précieuse votre aide

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Réponses

Meilleure réponse !
2014-02-28T22:03:06+01:00
Bonsoir,

Loi de probabilité de X :

P(X=0)=\dfrac{1}{8}\\\\ P(X=1)=\dfrac{3}{8}\\\\P(X=2)=\dfrac{3}{8}\\\\P(X=3)=\dfrac{1}{8}

Espérance de X : 
 
E(X)=0\times\dfrac{1}{8}+1\times\dfrac{3}{8}+2\times\dfrac{3}{8}+3\times\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{2}

Variance de X :

V(X)=(0-\dfrac{3}{2})^2\times\dfrac{1}{8}+(1-\dfrac{3}{2})^2\times\dfrac{3}{8}+(2-\dfrac{3}{2})^2\times\dfrac{3}{8}+(3-\dfrac{3}{2})^2\times\dfrac{1}{8}\\\\=\dfrac{24}{32}=\dfrac{3}{4}

Ecart-type de X : \sigma(X)=\sqrt{V(X)}\\\\\sigma(X)=\sqrt{\dfrac{3}{4}}\\\\\sigma(X)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

1. Si X = 0, alors S = -1 - 1 - 1 
                            = -3
Si X = 1, alors S = 3 - 1 - 1 
                         = 1
Si X = 2, alors S = 3 + 3 - 1 
                         = 5
Si X = 3, alors S = 3 + 3 + 3
                         = 9.

La relation S = 4X - 3 est vérifiée par ces 4 relations.

2. E(S) = 4E(X) - 3.

3. Si X = 0, alors S' = -3 - 3 - 3 
                            = -9
Si X = 1, alors S' = -3 - 3 + 3 
                         = -3
Si X = 2, alors S' = 3 + 3 - 3 
                         = 3
Si X = 3, alors S' = 3 + 3 + 3
                         = 9.

La relation S' = 6X - 9 est vérifiée par ces 4 relations.

E(S ' ) = 6*E(X) - 9
          = 6 * (3/2) - 9
          = 0

Maxime aurait pu espérer avoir une note égale à 0.
une dernière (je l'espère) petite question svp : pourquoi est-ce que quand on calcule l'espérance S' avec sa loi de proba', on ne trouve pas 0 ?
Tu as û faire une faute de calcul parce qu'on trouve bien 0.
Voici le calcul :
E(S') = -9*(1/8) - 3*(3/8) + 3*(3/8) + 9*(1/8)
= -9/8 - 9/8 + 9/8 + 9/8
= 0
Ah c'est bon ! En fait je trouve 2/8 et 4/8 au lieu de 3/8. Bizarre que je trouve cela...
Merci
Pour avoir X = 1, il y 3 cas possibles : VFF ; FVF, FFV (V= vrai et F = faux) ===> P(X=1)=3/8
Pour avoir X = 2, il y 3 cas possibles : VVF ; VFV ; FVV ===> P(X=2) = 3/8