ABCD est un carré et les triangles AEB et BCF sont équilatéraux.

1. Justifier que (A,B,D) est un repère du plan.

2. Quelles sont les coordonnées des points D,E et F dans ce repère?

3. Démontrer que les points D,E et F sont alignés.

4. Autres méthode : Démontrer l'alignement des point D,E,F en prouvant que l'angle DEF a pour mesure 180°.

Coup de pouce pour la deuxième question :

cos60°=1/2 et sin60°= racine²de 3/2.

Merci d'avance!!

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Réponses

2012-11-03T16:54:29+01:00

Bonjour,

 

1) ABCD étant un carré, AB est perpendiculaire à AD et AB=AD

On peut parfaitement leur donner la valeur de l'unité. Dans ce cas ABD est un repère du plan.

 

2) 

 

D = (0 ; 1)

 

Abscisse de E = AE*cos 60°=1*1/2=1/2

Ordonnée de E = AE*sin 60°=1*V3/2=V3/2  (V= racine carrée)

E=(1/2 ; V3/2)

 

Abscisse de F = 1+BF*sin 60°=1+1*V3/2=1+V3/2

Ordonnée de F = BF*cos 60°=1*13/2=1/2

F=(1+V3/2 ; 1/2)

 

3)

 

abscisse Vecteur DE= 1/2-0=1/2

Ordonnée Vecteur DE= V3/2-1

 

abscisse Vecteur DF= 1+V3/2-0=1+V3/2

Ordonnée Vecteur DF= 1/2-1=-1/2

 

xy'-x'y=1/2(-1/2)-(V3/2-1)(1+V3/2)=-1/4-V3/2-3/4+1+V3/2

xy'-x'y=-4/4+1=-1+1=0

Donc les vecteurs DE et DF sont colinéaires et les points D ; E et F sont alignés.

 

4)

Le triangle DAE est isocèle car DA=AE

Donc : angle ADE = angle AED= (180-30)/2=75°

angle AED=75°

AEB=60° car le triangle AEB est équilatéral.

 

Angle EBC=90-60=30°

Angle CBF=60°car le triangle CBFB est équilatéral.

Donc angle EBF=90°

Le triangle EBF est rectangle isocèle en B 

Donc angle BEF=45°

 

L'angle DEF= AED+AEB+BEF=75+60+45=180°

Donc DEF est un angle plat et les points DEF sont alignés.

 

J'espère que tu as compris

 

A+