Bonjour, voilà j'ai un devoir à la maison à rendre et je bloque sur un exercice depuis hier matin .. J'ai beau chercher des solutions je ne trouve rien.. Si vous pourriez m'aider ce serait gentil

Voilà l'énoncé :

Une entreprise qui fabrique des cerfs-volants a modélisé sont coût total de production, en milliers d'euros, par la fonction:
CT(x)=[(1/3)x3] - (1/4)x² - (1/2)x + 2
où x est la quantité produite en milliers de cerfs-volants, avec 0 < (ou égal) x <(ou égal) 6

1. Quel est le montant des coûts fixes de cette entreprise?
2. a) Vérifier que pour tout x de [0;6] :

C'T(x)=(x-1)[x+(1/2)]
b) Dresser le tableau de variation de la fonction coût total sur [0;6].
c) L'entreprise ne peut pas dépasser un coût total de fabrication de 50 000€. Quel nombre maximal de cerfs-volants peut-elle produire?
On donnera la réponse à l'unité près.
Guide de résolution = Déterminer une valeur approchée à 0,001 près de l'équation CT(x)=50 ; puis utiliser le tableau de variation de CT.
3. a) Déterminer l'expression du coût moyen CM(x) en fonction de x sur l'intervalle [0,001;6].
En quelle unité est exprimé CM(x)?
Guide de résolution = Pour tout x de [0,001;6], CM(x)=(CT(x))/x
b) Vérifier que pour tout x de [0,001;6] :
C'M(x)=f(x)/12x² avec f(x) = 8x3-3²-24
c) Etudier les variations de f sur [0,001;6].
En déduire que l'équation f(x)=0 a une unique solution a dans [0,001;6]; en donner l'arrondi au millième.
d) En déduire la production pour laquelle le coût moyen par cerf-volant est minimal. Donner une valeur approchée de ce coût.

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Réponses

2012-11-02T20:13:17+01:00

Cout fixe = 2000 € car si x = 0 la société doit quand même payer 2000 €

Meilleure réponse !
2012-11-02T20:39:00+01:00

∀x∈[0;6], CT(x)=x³/3-x²/4-x/2+2

1) montant des coûts fixes = 2000€

2)a) ∀x∈[0;6], CT'(x)=x²-x/2-1/2 or CT'(1)=1²-1/2-1/2=1-1=0 donc 1 est racine de CT'(x)

d'où CT'(x)=(x-1)(ax+b)=ax²+(b-a)x-b=x²-x/2-1/2 => b=1/2 et a=1

d'où CT'(x)=(x-1)(x+1/2)

∀x∈[0;1], CT'(x)<0 donc CT est décroissante

∀x∈[1;6], CT'(x)>0 donc CT est croissante

CT'(1)=0 et CT est décroissante avant x=1 et croissante aprés d'où CT admet un minimum en 1

3)a)∀x∈[0,001;6], CM(x)=CT(x)/x=x²/3-x/4-1/2+2/x

b)∀x∈[0,001;6], CM'(x)=2x/3-1/4-2/x²=(2x*4x²)/12x²-(1*3x²)/12x²-24/12x²

=8x³/12x²-3x²/12x²-24/12x²=(8x³-3x²-24)/12x²=f(x)/12x²

CM'(x)=f(x)/12x² avec f(x)=8x³-3x²-24

c) ∀x∈[0,001;6], f'(x)=24x²-6x=6x(4x-1)

∀x∈[0,001;1/4], f'(x)<0 donc f est décroissante

∀x∈[1/4;6], f'(x)>0 donc f est croissante

f'(1/4)=0 et f est décroissante avant x=1/4 et croissante aprés d'où f admet un minimum en 1/4

f(0)=-24 et comme f est décroissante sur [0,001;1/4] donc f(x)<0 sur [0,001;1/4]

donc f(1/4)<0 et f(6)=1596 donc >0 , f admet une solution unique pour f(x)=0 sur[1/4;6]

d) avec la valeur de la solution unique du c) calculer CM(solution unique)