Un astronome décide de repeindre son observatoire formé d'un bâtiment cylindrique de 4,5m de diamètre de base et de 3,5 m de haut, surmonté d'un demi sphère de même diamètre.

1. De quelle quantité de peinture monocouche cet astronome aura-t-il besoin, sachant qu'il faut 1 L de peinture pour 12 m2

2. Calculet le volume de l'observatoire.

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Réponses

2014-02-26T02:51:51+01:00
Si on développe la surface latérale  d'un cylindre  on obtient un rectangle dont la largeur est égale à la hauteur du cylindre et dont la longueur est égale à la longueur du cercle de base (périmètre).

Calculer  la surface latérale d’un cylindre de révolution. ( rayon = 4,5/2 =2,25m ; hauteur = 3,50 m , pi = 3,1416 )
Aire = 2 × π × r × h
Aire = 2 × 3,1416 × 2,25m × 3,50m 
L'aire du cylindre est de 49,4802 m²

Calculer la surface de la demi sphère qui surplombe le cylindre de l'observatoire

L'aire d'une sphère de rayon R est donnée par la formule : 4 × π × r²
en l'occurrence l'aire de la demi sphère sera de :
[4 × 3,1416 × (2,25)²] / 2 = 31,8087 m²

L'aire totale de l'observatoire à repeindre est de 49,4802 + 31,8087 81,29 m²

Peinture nécessaire
1 litre pour 12 m²

81,29 m² / 12 = 6,77 litres
Soit l'achat de 7 litres de peinture pour appliquer une couche (monocouche) de peinture.

2) Volume d'air contenu dans l'observatoire

Le volume d'une boule de rayon R est donné par la formule : 
 \frac{4}{3}  × π × r³
Calcul =  \frac{4}{3} × π × 2,25³ = 47,71 m³
Volume d'une demi sphère =  47,71 / 2 = 23,85 m³

Le volume ( V ) d’un cylindre est égal au produit de l’aire de la base (disque) multipliée par la hauteur. (précaution importante : prendre les mêmes unités de longueur)
Formule : V = π × r² × h
Volume du cylindre = π × r² × h   
Calcul (V) = 2,25 m 
× 2,25 × 3,1416 × 3,5  = 55,67 m³

Volume de l'observatoire = 55,67 + 23,85 = 79,52 m³