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2014-02-23T23:35:37+01:00
Bonsoir,

Posons z = x + iy

Alors z^3 = (x + iy)^3=x^3+3x^2yi+3x(iy)^2+(iy)^3\\\\=x^3+3x^2yi+3xi^2y^2+i^3y^3\\\\=x^3+3x^2yi-3xy^2-iy^3\\\\=x^3-3xy^2+(3x^2y-y^3)i\\\\

z^3 est réel si 3x²y - y^3 = 0
                     y(3x² - y²) = 0
                     y(√3 x - y)(√3 x + y) = 0

soit si y = 0   ou  √3 x - y = 0   ou   √3 x + y = 0
soit si y = 0   ou  y = √3 x   ou   y = -√3 x

L'ensemble des points M dont l'affixe z vérifie la relation z^3 = 0 est l'ensemble des trois droites dont les équations sont : y = 0 (axe réel = axe des abscisses) et les droites d'équations  y = √3 x et  y = -√3 x