En traversant une plaque de verre teinté, un rayon lumineux perd 22% de son intensité lumineuse.

Soit I0 l'intensité d'un rayon lumineux à son entrée dans la plaque de verre et I1 son intensité à la sortie, exprimé I1 en fonction de I0.

On superpose n plaques de verre identiques, In est l'intensité du rayon à la sortie de la n-ième plaque.

1) Exprimer In en fonction de In-1.

2) Exprimer In en fonction de n.

3) Quel est le sens de variation de (In) ?

4) En justifiant, déterminer à la calculatrice le premier entier p tel que Ip<0.4 I0

5) Expliquer pourquoi les termes In pour n>ou égal à p sont tous inférieurs à 0.4 Io

6 )Donner le nombre maximal de plaques qu'un rayon peut traverser en gardant une intensité moins égale au quart de son intensité entrante. Justifier.

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Réponses

2014-02-22T23:35:51+01:00
Bonsoir,

I_1=I_0-22\%\ de\ I_0\\\\I_1=I_0-0,22 I_0\\\\I_1=0,78\timesI_0

1) I_{n+1}=0,78\timesI_n

2) La suite (In)est une suite géométrique de raison 0,78 et dont le premier terme est I0

I_n=I_0\times(0,78)^n

3) I_{n+1}-I_n=I_0\times0,78^{n+1}-I_0\times0,78^{n}\\\\I_{n+1}-I_n=I_0\times0,78^{n}\times 0,78-I_0\times0,78^{n}\\\\I_{n+1}-I_n=I_0\times0,78^{n}(0,78-1)\\\\I_{n+1}-I_n=I_0\times0,78^{n}\times(-0,22)\\\\I_{n+1}-I_n<0\\\\I_{n+1}<I_n

Donc la suite (In) est décroissante.

4) I_p<0,40\times I_0\\\\(0,78)^p\times I_0<0,40\times I_0\\\\(0,78)^p<0,40\\\\(0,78)^3\approx0,47\\\\(0,78)^4\approx0,37

Donc le premier entier p tel que Ip < 0.4*I0  est p = 4.

5) La suite (In) est décroissante.
D'où si n > p, alors In < Ip < 0.4*I0
Par conséquent, si n > p, alors  In < 0.4*I0.

6) I_n\ge\dfrac{1}{4}I_0\\\\(0,78)^n\times I_0\ge\dfrac{1}{4}I_0\\\\(0,78)^n\ge\dfrac{1}{4}\\\\(0,78)^n\ge0,25\\\\0,78^5\approx0,29\\\\0,78^6\approx0,23

Donc  le nombre maximal de plaques qu'un rayon peut traverser en gardant une intensité au moins égale au quart de son intensité entrante est égal à 5.
                           
Merci beaucoup beaucoup ! Mais pour le 6) si je dois faire un algorithme j'aurais fais comment ?