Bonjour ou bonsoir à tous, j'aurai
besoin de votre aide pour un exercice de Probabilité.




Énoncé : Une entreprise
pharmaceutique prépare des plantes pour des infusions.
Le laboratoire étudie la taille des
feuilles d'une plante, avant qu'elles soient séchées. Si la taille
des feuilles est inférieure à 5cm les feuilles sont inutilisables
une fois séchées.
La probabilité qu'une feuille soit
utilisable est p=0.8
On prélève au hasard n = 1000
feuilles. Les tirages sont assimilés à des tirages successifs SANS
remise. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de feuilles
utilisables parmi les feuilles prélevées.




Questions :


1)a) Quelle est la loi suivie par X?
Préciser ses paramètres.

J'ai déjà réussi cette question.




1)b) Calculer la variance X :
V(X)=np(1-p) ainsi que l'écart-type.
J'ai déjà réussi cette question.




1)c) A l'aide de la calculatrice,
calculer :
P(X=775) ; P(X=800= ;
P(X=85) ; P(775x825)



2) Soit la fonction f définie par :
f(x) = 1/racine de 320pi *
e^-(x-800)²/320



a) Étudier les variations de f et
préciser les coordonnées de son extremum
Comparer ces coordonnées à la valeur
de la probabilité P(X=800) demandé à la question 1)c)




b) Calculer f(775) et f(825)




c) Dresser le tableau de variation de f
sur
.





Je bloque ainsi de la 1)c) jusqu'à la
2). Pourriez-vous donc m'aider à répondre à ces question.
Je vous remercie d'avance:)



1
Pour la 1c), pour (775x8825) c'est :
775 sup ou égal à x sup ou égal à 825

Réponses

2014-02-21T22:17:35+01:00
Bonsoir,

1) a) X suit une loi binomiale de paramètre B(1000 ; 0,8) 

b) Variance : 
V(X) = np(1 - p)
                          = 1000 * 0,8 *(1 - 0,8)
                          = 1000 * 0,8 * 0,2
                          = 160
Ecart-type : 
\sigma=\sqrt{160}=4\sqrt{10}\approx12,65

c)

 
P(X = 775)=\left(\begin{array}{l}1000\\775\end{array}\right)\times0,8^{775}\times0,2^{225} = 0,00453523\\\\P(X = 800)=\left(\begin{array}{l}1000\\800\end{array}\right)\times0,8^{800}\times0,2^{200} = 0,03152536\\\\P(X = 825)=\left(\begin{array}{l}1000\\825\end{array}\right)\times0,8^{825}\times0,2^{175} = 0,004403831

P(775\le X\le825)=\sum_{i=775}^{825} P(X=i)=0,956307892

(Voir pièce jointe)
0,00453523+0,00525993+0,00606551+0,00695429+0,00792735+0,00898433+0,01012319+0,01134004+0,01262901+0,01398212+0,01538924+0,0168381+0,01831438+0,01980184+0,02128258+0,02273734+0,02414585+0,02548729+0,02674076+0,02788583+0,02890305+0,0297745+0,0304843+0,03101912+0,03136852+0,03152536+0,031486+0,03125045+0,03082236+0,03020898+0,02942092+0,02847186+0,02737814+0,02615832+0,02483262+0,02342238+0,102194945+0,0204357+0,01890239+0,01736977+0,01585657+0,01437973+0,01295408+0,01159216+0,01030414+0,0090978+0,00797859+0,00694972+0,00601239+0,00516599+0,00440831=0,95630789

2) a) f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{320\pi}}
e^{-\dfrac{(x-800)^2}{320}}\\\\f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{320\pi}}
\times(-\dfrac{(x-800)^2}{320})'\times e^{-\dfrac{(x-800)^2}{320}}\\\\f'(x) = -\dfrac{1}{160\sqrt{320\pi}}
\times(x-800)\times e^{-\dfrac{(x-800)^2}{320}}

\begin{array}{|c|ccccc|}x&-\infty&&800&&+\infty \\ f'(x)&&+&0&-&\\ f(x)&&\nearrow&\dfrac{1}{\sqrt{320\pi}}&\searrow&\\  \end{array}

Les coordonnées de l'extremum sont (800 ; 1/
√(320π)) ≈ (800 ; 0,03153915653)

f(800) est très proche de P(X=800).

b) f(775) = 0,004473203587
f(825) = 0,00447320358

c) voir a).