Bonjour, j'ai un exercice noté (pour demain) qui me pose des problèmes, si vous voulez bien y jeter un œil :
Une entreprise fabrique une quantité x d'un produit avec un cout total en euros exprimé par : C(x)= x²/10 - 20x + 1960
Le cout moyen unitaire est défini par : Cm = C(x)/x
1. a) Calculer C'm(x)
b) Déduisez-en les variations de Cm.
c) Pour quelle valeur x0 de x, Cm(x) est-il minimal ?
2. a) Calculer C'(x)
b) Vérifiez que C'(x0) = Cm(x0)
3. Vérifiez que la tangente à la courbe "cout total" au point d'abscisse x0 passe par l'origine.

Voilà, merci :).

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Réponses

2014-02-16T16:49:14+01:00
Bonjour,

1)
a)
D_{Cm} = \mathbb R ^*
Dérivée d'un quotient :
C'm\left(x\right) = \frac{C'\left(x\right)x - x'C\left(x\right)}{x^2}
Dérivons C(x).
C'\left(x\right) = \left(\frac {x^2}{10}\right)' -\left(20x\right)' +1960\\
C'\left(x\right) = \frac {1}{10} \left(x^2\right)' -20\\
C'\left(x\right) = \frac{1}{10} \times 2x -20\\
\boxed{C'\left(x\right) = \frac x5 -20}

On remplace dans l'autre expression.
C'm\left(x\right) = \frac{C'\left(x\right)x - x'C\left(x\right)}{x^2}\\
C'm\left(x\right) = \frac{x\left(\frac x5 - 20\right) -\frac {x^2}{10} + 20x -1960}{x^2}\\
C'm\left(x\right) = \frac{\frac{x^2}{5} -20x -\frac {x^2}{10} + 20x -1960}{x^2}\\\boxed{
C'm\left(x\right) = \frac{\frac{x^2}{10} -1960}{x^2}}
D_{C'm} = \mathbb R ^*

b)Il faut ensuite réaliser le tableau de signes de la fonction précédente.
Pour cela, on étudie seulement le signe de x²/10 - 1960, x² étant strictement positif pour tout x appartenant au domaine de définition.
Cette expression a le même signe que x² - 19600.
19 600 = 140².

Elle est strictement positive quand
x \in \left]-\infty ; -140\right[ \cup \left]140 ; +\infty[
Elle est nulle pour x = -140 ou x = 140
Elle est strictement négative pour :
x\in \left]-140 ; 0\right[ \cup \left]0 ; 140\right[

La fonction Cm est strictement croissante sur les intervalles où sa dérivée est strictement positive et strictement décroissante quand elle est strictement négative. Donc Cm est strictement croissante sur
\left]-\infty ; -140\right[ \cup \left]140 ; +\infty[
et strictement décroissante sur
\left]-140 ; 0\right[ \cup \left]0 ; 140\right[
Enfin, elle admet deux extrémums en -140 et 140, respectivement un maximum et un minimum car la dérivée change de signe.

Attention !  Ce n'est pas parce que la dérivée s'annule qu'il y a forcément un extrémum, il faut aussi qu'elle change de signe.

c)D'après la question précédente, le minimum de Cm est atteint pour x0 = 140.

2)
a)D'après 1)a)
\boxed{C'\left(x\right) = \frac 15 x -20}

b)C'\left(140\right) = \frac{140}{5}-20\\
\boxed {C'\left(140\right) = 8}
C_m\left(140\right) = \frac{\frac{140^2}{10}-20\times 140 +1960}{140} \\
\boxed{C_m\left(140\right) = 8}

c)
Équation de la tangente :
y = f'\left(a\right) \left(x-a\right)+f\left(a\right)\\
y = C'\left(140\right) \left(x - 140\right) + C\left(140\right)\\
y = 8\left(x-140\right) + 1120\\
y = 8x-1120+1120\\
\boxed{y = 8x}

Et en effet, le point O (0 ; 0) vérifie bien cette équation (puisque 8*0 = 0).

Si tu as des questions, n'hésite pas ! =)
Ah, ok. Tu comprends mieux, maintenant ? =)
Oui je comprends beaucoup mieux merci ! Et par contre j'aurai une derniere question : pourquoi on regarde que le minimum de Cm entre l'intervalle 0 et + l'infini ? Pourquoi pas dans les négatifs ?
Cm représente le coût moyen de production pour une quantité x d'un produit, c'est pour cette raison que l'on ne s'intéresse qu'à R+ (je vois mal comment on pourrait produire une quantité négative d'un produit ! ^^).
Ah oui ! ^^ Merciiiii ! :P
Je t'en prie ! =)