Bonjour, j'ai un gros problème avec cet exercice.

Soit le point B(0;2) dans le repère orthonormé (O,I,J).
1.Quel est le centre du cercle C de diamètre [OB] ?
2. Démontrer que le point M(Racine de 3 divisé par 3 ; 3/2 ) appartient au cercle C.
3. La droite (BM) coupe la droite (OI) au point D. k est le milieu de [OD]
a. Déterminer une équation de (BM) Puis les coordonnées de D.
b. En déduire les coordonnées de K.
4.a. Démontrer que le triangle JMK est rectangle en M.
b. Que représente la droite (KM) pour le cercle C ??

J'ai réeussi le 1) évidement, mais je suis bloquer au n°2 et j'aurais bien besoin d'aide
Merci d'avance !! :)

1
C'est racine de 3 /2 ; 3/2 pour la 2 désolé

Réponses

2014-02-15T09:14:23+01:00
Bonjour,

1) Le centre du cercle C de diamètre [OB] est le point J(0;1).

2) Il suffit de démontrer que JM = 1.
En effet,
JM=\sqrt{(x_M-x_J)^2+(y_M-y_J)^2}\\JM=\sqrt{(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-0)^2+(\dfrac{3}{2}-1)^2}\\JM=\sqrt{(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2+(\dfrac{1}{2})^2}\\JM=\sqrt{\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}}\\JM=\sqrt{\dfrac{4}{4}}\\JM=\sqrt{1}\\JM=1

3) a) Une équation de la droite (BM) est de la forme y = ax + b.
Le coefficient directeur de la droite est 
a=\dfrac{y_M-y_B}{x_M-x_B}\\\\a=\dfrac{\dfrac{3}{2}-2}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}-0}\\\\a=\dfrac{\dfrac{3}{2}-\dfrac{4}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\\\\a=\dfrac{-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\\\\a=(-\dfrac{1}{2})\times\dfrac{2}{\sqrt{3}}\\\\a=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}
L'ordonnée à l'origine de la droite est b = 2
D'où
(BM):y=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x+2

L'abscisse du point D est la solution de l'équation 
-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x+2=0

-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x=-2\\\\\dfrac{1}{\sqrt{3}}x=2\\\\x=2\sqrt{3}

D'où :  D(2\sqrt{3};0)

c) K=(\dfrac{x_O+x_D}{2};\dfrac{y_0+y_D}{2})\\\\K:(\dfrac{0+2\sqrt{3}}{2};\dfrac{0+0}{2})\\\\K:(\sqrt{3};0)

4a) Démontrons que OK² = OM² + MK²

OK^2=(x_K-x_0)^2+(y_K-y_O)^2\\=(\sqrt{3}-0)^2+(0-1)^2\\=(\sqrt{3})^2+(-1)^2\\=3+1\\=4

OM = rayon du cercle C = 1 ===> OM² = 1² = 1

MK^2=(x_K-x_M)^2+(y_K-y_M)^2\\=(\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2+(0-\dfrac{3}{2})^2\\=(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2+(-\dfrac{3}{2})^2\\=\dfrac{3}{4}+\dfrac{9}{4}\\\\=\dfrac{12}{4}\\\\=3

OK^2= OM^2 + MK^2\ \ car\ \ 4=1+3

Par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OMK est rectangle en M.

b) La droite (KM) est tangente au cercle C au point M car cette droite (KM) est perpendiculaire au rayon [OM] en M puisque le triangle OMK est rectangle en M.