On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x)=ln(abs(exp(x/2)−exp(x)
Calculer les limites de la fonction f en 0,+∞ et −∞
Démontrer pour tout x appartient à ]0;+∞[ f(x)=x+ln(1-exp(-x/2))
et pour x appartient à ]0;-∞[ f(x)=x/2+ln(1-exp(x/2))

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Réponses

2014-02-13T15:04:39+01:00
Bonjour,

f(x)=ln(abs(exp(x/2)−exp(x)))

a) \lim_{x\to 0} |exp(\dfrac{x}{2})-exp(x)|=|1-1|=0^+

D'où  \lim_{x\to 0} ln(|exp(\dfrac{x}{2})-exp(x)|)=-\infty

b) \lim_{x\to +\infty} |exp(\dfrac{x}{2})-exp(x)|=\lim_{x\to +\infty} |exp(\dfrac{x}{2})[1-exp(\dfrac{x}{2})]|\\\\=|+\infty\times(1-\infty)|\\\\=|+\infty\times(-\infty)|\\\\=|-\infty|\\\\=+\infty

D'où  \lim_{x\to +\infty} ln(|exp(\dfrac{x}{2})-exp(x)|)=+\infty

c)  \lim_{x\to -\infty} |exp(\dfrac{x}{2})-exp(x)|=|0-0|=0^+

D'où  \lim_{x\to -\infty} ln(|exp(\dfrac{x}{2})-exp(x)|)=-\infty

d)  f(x)=ln(|exp(\dfrac{x}{2}) - exp(x)|) = ln[|exp(x)|.|exp(\dfrac{-x}{2}) - 1|] \\\\= ln[exp(x).|exp(\dfrac{-x}{2}) - 1|]  \\\\= ln[exp(x)+ln(|exp(\dfrac{-x}{2}) - 1|)\\\\= x+ln(|exp(\dfrac{-x}{2}) - 1|)

Si x > 0 , alors exp(-x/2) < 1 
                      exp(-x/2) - 1 < 0
                      |exp(-x/2) - 1| = 1 - exp(-x/2)    

donc f(x) = x+ln(|exp(\dfrac{-x}{2}) - 1|)=x+ln(1-exp(\dfrac{-x}{2}))

e) Si x < 0 , alors exp(-x/2) > 1 
                      exp(-x/2) - 1 > 0
                      |exp(-x/2) - 1| = exp(-x/2) -1   

Donc  f(x) = x+ln(|exp(\dfrac{-x}{2}) - 1|)=x+ln(exp(\dfrac{-x}{2})-1)\\\\=x+ln(e^{\frac{-x}{2}}-1)\\\\=x+ln(\dfrac{1}{e^{\frac{x}{2}}}-1)\\\\=x+ln(\dfrac{1-e^{\frac{x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}}})\\\\=x+ln(1-e^{\frac{x}{2}})-ln(e^{\frac{x}{2}}})\\\\=x+ln(1-e^{\frac{x}{2}})-\frac{x}{2}}}\\\\=\frac{x}{2}}}+ln(1-e^{\frac{x}{2}})