Exercice:

J'ai moins de 100pièces.

Si je les regroupent par 2 il m'en reste un.

Si je les regroupent par 3 il m'en reste deux.

Si je les regroupent par 4 il m'en reste trois.

Si je les regroupent par 5 il m'en reste quatre.

Combien ai-je de pièces? Expliquer votre démarche.

1

Réponses

2012-10-26T01:00:41+02:00

Je n'ai pas réussi à résoudre les équations traduisant les données de l'énoncé.

En effet, j'obtiens une inéquation et 4 équations avec 5 inconnues

soit x le nombre de pièces, j'obtiens :

x<100

(x-1)/2=a

(x-2)/3=b

(x-3)/4=c

(x-4)/5=d

avec a,b,c et d étant des entiers

 

j'ai donc procéder par élimination

 

J'ai moins de 100pièces => 1<x<100

 

Si je les regroupent par 2 il m'en reste un : x n'est pas divisible par 2 donc x est impaire

 

Si je les regroupent par 5 il m'en reste quatre : x se termine par 4 ou par 9 mais comme il est impaire donc x se termine par 9

Cela nous laisse 9,19,29,39,49,59,69,79,89 et 99

 

Si je les regroupent par 3 il m'en reste deux : x n'est pas divisible par 3 donc 9,39,69 et 99 peuvent être retiré de la liste.

Il nous reste 19,29,49,59,79 et 89 qui doivent être commun aux 2 affirmations suivantes :

Si je les regroupent par 3 il m'en reste 2 et si je les regroupent par 4 il m'en reste 3.

 

Pour la première, les solutions peuvent être 5,8,11,14,17,20,23,25,29,32,35,38...

bien sûr seuls les nombres terminant par 9 sont à retenir et on remarque les 9 reviennent tous les 30 donc 29,59 et 89

 

Pour la seconde, les solutions peuvent être 7,11,15,19,23,27,31...

bien sûr seuls les nombres terminant par 9 sont à retenir et on remarque les 9 reviennent tous les 20 donc 19,39,59,79 et 99. Or seuls 19,59 et 79 sont à conserver car 39 et 99 ont été retirés précédemment.

 

il nous reste 2 listes de 3 nombres chacune : 29,59,89 et 19,59,79.

On remarque seul 59 est commun aux 2 listes, c'est donc 59 la solution.

 

Vérifions :

J'ai moins de 100pièces : 59<100 ok

Si je les regroupent par 2 il m'en reste un : 59=28*2+1 ok

Si je les regroupent par 3 il m'en reste deux : 59=19*3+2 ok

Si je les regroupent par 4 il m'en reste trois : 59=14*4+3 ok

Si je les regroupent par 5 il m'en reste quatre : 59=11*5+4 ok

 

le nombre de pièces est bien 59