Bonjour, j'ai un devoir-maison à rendre pour demain et je n'ai pas compris ce qu'il fallait faire.

Je vous donne les énoncés si vous pouviez m'aider...

Trois points E, F, G sont tels que :

EF = √325
EG = √52
FG = √637

Mathilde et Michael ont fait une figure : Elle affirme que les trois points sont alignés, alors que Michael affirme le contraire.

Choisir une des deux propositions et l'argumenter.

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On peut calculer la longueur m de la médiane issue de A dans un triangle ABC grâce à la formule ;

m = 1/2√2b²+2c²-a²

où a = BC
b = AC
c = AB

a) Vérifier cette formule pour le triangle ABC avec a = 5cm, b = 4cm et c = 3cm.
Le résultat était-t-il prévisible ?

b) Appliquer cette formule dans un triangle pour lequel a = 7cm ; b = 5cm ; c = 4 cm
Comment peut-on vérifier la vraisemblance du résultat obtenu ?
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Merci d'avance !!

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Réponses

2014-02-12T00:30:33+01:00
Bonsoir

Exercice 1

Calculons les longueurs EF, EG et FG sous une autre forme.

EF=\sqrt{325}=\sqrt{25\times13}=\sqrt{25}\times\sqrt{13}=5\sqrt{13}\\\\EG=\sqrt{52}=\sqrt{4\times13}=\sqrt{4}\times\sqrt{13}=2\sqrt{13}\\\\FG=\sqrt{637}=\sqrt{49\times13}=\sqrt{49}\times\sqrt{13}=7\sqrt{13}

5\sqrt{13}+2\sqrt{13}=7\sqrt{13}

Puisque EF + EG= FG, les points E, F et G sont alignés.

Exercice 2

a) m=\dfrac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\\\\m=\dfrac{1}{2}\sqrt{2\times4^2+2\times3^2-5^2}\\\\m=\dfrac{1}{2}\sqrt{2\times16+2\times9-25}\\\\m=\dfrac{1}{2}\sqrt{32+18-25}\\\\m=\dfrac{1}{2}\sqrt{25}\\\\m=\dfrac{1}{2}\times5\\\\m=2,5

La médiane mesure 2,5 cm.

Le résultat était prévisible.
En effet,
Le triangle ABC est rectangle en A car BC² = a² = 5² = 25
et AB² + AC² = c² + b² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
BC² = AB² + AC².
La relation de Pythagore dans un triangle rectangle est vérifiée.

Or si un triangle rectangle est inscrit dans un cercle, alors la longueur de la médiane est égale au rayon de ce cercle.
Le rayon de ce cercle étant la moitié de l'hypoténuse, soit (1/2)*BC = (1/2)*a = 5/2 = 2,5, nous en déduisons que la médiane a une longueur égale à 2,5 cm.

b) m=\dfrac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\\\\m=\dfrac{1}{2}\sqrt{2\times5^2+2\times4^2-7^2}\\\\m=\dfrac{1}{2}\sqrt{2\times25+2\times16-49}\\\\m=\dfrac{1}{2}\sqrt{50+32-49}\\\\m=\dfrac{1}{2}\sqrt{33}\\\\m\approx2,9

La médiane mesure environ 2,9 cm.

Le résultat est vraisemblable car le triangle ABC est "presque" rectangle en A

car AB² + AC² = 4² + 5² = 16 + 25 = 41
Si le triangle était rectangle en A, nous aurions une hypoténuse BC = √41 ≈ 6,4, valeur proche de c = 7.
La médiane aurait alors une longueur égale à (1/2) * 6,4 = 3,2 cm (en utilisant le théorème rappelé dans le point précédent)

Comme la médiane mesure 2,9 cm, nous sommes proches de 3,2 cm.

Donc résultat plausible.