Réponses

2014-02-07T18:36:50+01:00
Bonjour,

Commençons par le triangle ABD. On connaît deux de ses angles, donc comme la somme des angles dans un triangle est de 180°, on a :
\widehat{DAB} + \widehat{ABD}+\widehat{BDA} = 180\\
 \widehat{ABD} = 180 - \widehat{DAB} - \widehat{BDA} = 180 - 100 - 40 = 40 \char 23
Donc, dans ce triangle, les angles DAB et ADB sont de même mesure : le triangle ADB est donc isocèle en B.

Maintenant, faisons de même pour le triangle DBC.
Comme les points A, B et C sont alignés, la mesure de l'angle ABC est 180°.
On a alors :
\widehat{ABD}+\widehat{DBC} = 180\char 23\\
\widehat{DBC} = 180 - \widehat{ABD} = 180-100 = 80\char23

Dans le triangle DBC, on utilise un raisonnement similaire au premier pour calculer la mesure de BDC (on connaît celle de DBC).
\widehat{BDC} = 180 - \widehat{DBC} - \widehat{BCD} = 180 - 80 - 50 = 50 \char 23
Et de la même façon, comme les angles BDC et BCD sont de même mesure, le triangle BDC est isocèle en B.

Attention ! Si on te demande la nature exacte des triangles, il faut aussi démontrer qu'ils ne sont pas équilatéraux (en disant, par exemple, que les angles d'un triangle équilatéral ont pour mesure 60°, ce qui n'est pas le cas).

2)
Comme le triangle ABD est isocèle en B, on a AB  = BD.
Mais comme le triangle DBC est aussi isocèle en B, on a BD = BC, donc AB = BC. Comme le point B appartient à [AC] et que AB = BC, B est le milieu de [AC].

Si tu as des questions, n'hésite pas ! =)