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2014-02-04T00:10:41+01:00
Bonsoir,

1) Le volume du solide MBCDNPFGHR est la différence entre le volume du cube et le volume du prisme AMNEPR.

Le volume du cube est égal à 8^3 = 512 cm^3.

Le volume du prisme AMNEPR = Aire de la base AMN * hauteur du prisme.
L'aire de la base AMN = aire d'un triangle rectangle = (1/2) * AM * AN
                                                                          = (1/2) * x * (8 - x)
D'où le volume du prisme AMNEPR = (1/2) * x * (8 - x) * 8
                                                    = 4x(8 - x)

Par conséquent, le volume du solide MBCDNPFGHR est V(x) = 512 - 4x(8 - x)
V(x) = 512 - 32x + 4x²
V(x) = 4x² - 32x + 512.

2) Si a > 0, alors le trinôme du second ax² + bx + c admet un minimum pour x = -b/(2a).

V(x) sera minimal pour x = 32/(2*4) = 32/8 = 4.
Ce minimum sera égal à V(4) = 4*4² - 32*4 + 512
                                           = 4*16 - 128 + 512
                                           = 64 - 128 + 512
                                           = 448.

Le minimum du volume V(x) sera atteint si AM = 4 cm . 
Ce volume sera égal à 448 cm^3.