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2014-02-02T22:22:16+01:00
Bonsoir,

Soit x le nombre de baisses de 1 centime sur le prix de vente.
Chaque baisse de 1 centime = 0,01€ sur le prix de vente de 1,20€, le pompiste vend 100 litres que plus que les 1000 litres journaliers.
Pour x baisses  de 1 centime = 0,01€ sur le prix de vente de 1,20€, le pompiste vend 
x*100 litres que plus que les 1000 litres journaliers.
Le prix de vente d'un litre est alors égal à 1,20 - 0,01*x
Le prix de vente total par jour est donc égal à (1,20 - 0,01x)(1000 + 100x).

Le prix d'achat pour le pompiste est de 0,85 € pour 1 litre.
Le prix d'achat total pour le pompiste est donc égal à (1000 + 100x)*0,85.

Le bénéfice B(x) = prix de vente - prix d'achat.
B(x) = (1,20 - 0,01x)(1000 + 100x) - 0,85(1000 + 100x)
       = (1000 + 100x)[(1,20 - 0,01x) - 0,85]
       = (1000 + 100x)(1,20 - 0,01x - 0,85)
       = (1000 + 100x)(0,35 - 0,01x)
       = 350 - 10x + 35x - x²
       = -x² + 25x + 350

En utilisant la formule de la forme canonique du trinôme du second degré, nous avons 
B(x) = -(x - 25/2)² + 506,25.
B(x) - 506,25 = -(x - 25/2)²

Or (x - 25/2)² ≥ 0 (car c'est un carré parfait)
    -(x - 25/2)² ≤ 0 (car c'est l'opposé d'un nombre positif)

D'où B(x) - 506,25 ≤ 0

B(x) ≤ 506,25.

Par conséquent le bénéfice maximal sera égal à 506,25 €.

Sachant que B(25/2) = -(25/2 - 25/2)² + 506,25
                                  = 0 + 506,25
                                  = 506,25,

ce bénéfice maximal sera atteint pour x = 25/2 = 12,5

Pour obtenir ce bénéfice maximal, le pompiste devra effectuer 12,5 réductions de 0,01€ par litre, soit une réduction de 0,125€ par litre.
Il vendra alors le litre d'essence au prix de 1,20 - 0,125 = 1,075 €.