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2014-02-01T23:00:31+01:00
Bonsoir,

y=\dfrac{ax+b}{x+c}

1) A(-8;0) appartient à la courbe ===>  \dfrac{a\times(-8)+b}{-8+c}=0\\\\\dfrac{-8a+b}{-8+c}=0\\\\-8a+b=0

C(-6;6) appartient à la courbe ===> \dfrac{a\times(-6)+b}{-6+c}=6\\\\\dfrac{-6a+b}{c-6}=6\\\\-6a+b=6(c-6)

Le coefficient directeur de la tangente au point C(-6;6) est égale à 2
=== f '(-6) = 2
Calcul de f'(x).

f'(x)=(\dfrac{ax+b}{x+c})'=\dfrac{(ax+b)'(x+c)-(x+c)'(ax+b)}{(x+c)^2}\\\\=\dfrac{a(x+c)-1\times(ax+b)}{(x+c)^2}\\\\=\dfrac{ax+ac-ax-b}{(x+c)^2}\\\\=\dfrac{ac-b}{(x+c)^2}

f'(-6)=2\\\\\dfrac{ac-b}{(-6+c)^2}=2\\\\ac-b=2(c-6)^2

Par conséquent :

\left\{\begin{matrix}-8a+b=0\\-6a+b=6(c-6)\\ ac-b=2(c-6)^2\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}b=8a\\-6a+8a=6(c-6)\\ ac-b=2(c-6)^2\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}b=8a\\2a=6(c-6)\\ ac-b=2(c-6)^2\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}b=8a\\a=3(c-6)\\ ac-b=2(c-6)^2\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}b=8a\\a=3(c-6)\\ 3(c-6)\times c-8\times3(c-6)=2(c-6)^2\end{matrix}\right.\\\\\\3c(c-6)-24(c-6)-2(c-6)^2=0\\\\\\(c-6)[3c-24-2(c-6)]=0\\\\c-6=0\ \ ou\ \ 3c-24-2(c-6)=0

c - 6 = 0 ===> c = 6 (impossible car la courbe ne serait pas définie au point C)

3c - 24 - 2(c - 6) = 0
3c - 24 - 2c + 12 = 0
3c - 2c = 24 - 12
c = 12

D'où a = 3(c - 6) = 3(12 - 6) = 3*6 = 18 ===> a = 18.

b = 8a ===> b = 8*18 
                    b = 144

Par conséquent, l'équation de la courbe est   y=\dfrac{18x+144}{x+12}

2) La hauteur totale de la voûte sera donnée par x = 0.
Dans ce cas , y = 144/12 = 12.

La hauteur totale de la voûte est égale à 12 mètres.

3) Si la largeur de la voûte est égale à 6 m, alors x = -3.

Dans ce cas,   y=\dfrac{18\times(-3)+144}{-3+12}=\dfrac{90}{9}=10

A partir d'une hauteur supérieure à 10 m, la largeur de la voûte sera inférieure à 6 m.