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Meilleure réponse !
2014-01-18T00:33:38+01:00
Bonsoir

1)  U_0=\int_0^{1}2e^{-2x}dx=-\int_0^{1}(-2e^{-2x})dx \\\\=-[e^{-2x}]_0^1=-(e^{-2\times1}-e^{-2\times0})=-(e^{-2}-e^{0})=-(e^{-2}-1)=1-e^{-2}


2)  U_n=\int_n^{n+1}2e^{-2x}dx=-\int_n^{n+1}(-2e^{-2x})dx \\\\=-[e^{-2x}]_n^{n+1}=-(e^{-2(n+1)}-e^{-2n})\\\\=-(e^{-2n-2}-e^{-2n})=e^{-2n}-e^{-2n-2}\\\\=e^{-2n}-e^{-2n}\times e^{-2}=e^{-2n}(1-e^{-2})

3)  \dfrac{U_{n+1}}{U_n}=\dfrac{e^{-2(n+1)}(1-e^{-2})}{e^{-2n}(1-e^{-2})}\\\\\dfrac{U_{n+1}}{U_n}=\dfrac{e^{-2(n+1)}}{e^{-2n}}\\\\\dfrac{U_{n+1}}{U_n}=\dfrac{e^{-2n-2}}{e^{-2n}}\\\\\dfrac{U_{n+1}}{U_n}=e^{-2n-2-2n}\\\\\dfrac{U_{n+1}}{U_n}=e^{-2}

La suite (Un) est donc une suite géométrique de raison e^(-2) et dont le premier terme est U0=1-e^(-2).

4)  S_n=U_0\times\dfrac{1-(e^{-2})^n}{1-e^{-2}}\\\\S_n=(1-e^{-2})\times\dfrac{1-(e^{-2})^n}{1-e^{-2}}\\\\S_n=1-(e^{-2})^n\\\\S_n=1-e^{-2n}
Un grand merci !je viens de comprendre là ou je me suis tromper dans mes propres calculs
Par contre, peut tu m'expliquer comment tu as procédé pour la dernière question ?