Demonstration conjecture inversement des chiffres d'un nombre multiple de 9

Est-ce que quelqu'un saurait démontrer pourquoi lorsqu'on inverse les chiffres d'un nombres et qu'on soustrait les 2 nombres cela donne un multiple de 9?


En gros, si la somme des chiffres de X est égal à Y, alors la différence de X-Y (résultat positif) est divisible par 9.

Ex : 31 et 13: 31-13 = 18
ou 51 et 15 : 51 - 15 = 36

Merci beaucoup :)

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Réponses

  • Cetb
  • Modérateur confirmé
2014-01-13T12:09:01+01:00
Soit un nombre xy avec x les dizaine et y les unités
Si l'on inverse ses chiffres et que l'on effectue la soustraction on obtient :
xy-yx
Cela est égale à 
10*x+y - 10*y-x
On factorise par 10
10(x-y)+(y-x)
On inverse le sens de la soustraction dans le deuxième terme
10(x-y)-(x-y)
Cela donne 
9(x-y)
Le résultat est donc un multiple de 9