Bonjour je n'arrive pas à faire un exercice voila l'énoncé :
On considère la parabole P d'équation y=6-x², qui coupe l'axe des abscisse -√6 et √6. Soit un point M de coordonnées (x;0) où x appartient [0;√6]. On construit le rectangle MNPQ où N et P sont sur la parabole P, M et Q sur l'axe des abcisses.

Trouver la position de M pour que l'aire de MNPQ soit maximum?
Merci d'avance

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Réponses

2014-01-11T22:26:24+01:00
Bonsoir,

L'aire du rectangle MNPQ = QM * MN.

L'axe des ordonnées est un axe de symétrie pour la parabole ==> P est le symétrique de N par rapport à cet axe et Q est le symétrique de M par rapport à cet axe.

Donc si O est l'origine du repère, 
QM = 2* OM
       = 2x.

MN = 6-x²

Par conséquent l'aire du rectangle MNPQ est donnée par A(x) = 2x(6-x²).

Etudions les variations de la fonction A.

A(x) = 2x(6-x²)
       = 12x - 2x^3

A'(x) = 12 - 6x²
        = 6(2-x²)

Racines de A : 
6(2-x²)=0
2-x²=0
(V2 - x)(V2 + x) = 0
V2 - x = 0  ou  V2 + x = 0
x = 2   ou  x = -V2.

\begin{array}{|c|ccccccc|}x&-\infty&&-\sqrt{2}&&\sqrt{2}&&+\infty \\ A'(x)&&-&0&+&0&-&\\A(x)&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&\\  \end{array}

Or x∈ [0 ; V6]

Donc, le tableau devient :

\begin{array}{|c|ccccc|}x&0&&\sqrt{2}&&\sqrt{6} \\ A'(x)&&+&0&-&\\A(x)&0&\nearrow&8\sqrt{2}&\searrow&0\\ \end{array}

L'aire du rectangle sera maximale si x = V2,  soit pour  M(\sqrt{2};0)