Dans un repère orthonormé, on considère les points A,B,C dont les coordonnées sont : A (-5;-1) B(-4;-4) C(-6;-4).
On trace le cercle de centre A et de rayon AB.
Onveut déterminer une valeur approchée de l'angle BAC.
1) Montrer que le point C est sur le cercle de centre A et de rayon AB.
2) Déterminer les coordonnées du point D, point diamétralement opposé au point C sur le cercle.
Vérifier que le triangle BCD est rectangle en B.
4) Déterminer une valeur approchée de l'angle BDC.
En déduire une valeur approchée de l'angle BAC.

Merci de répondre vite.

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Réponses

Meilleure réponse !
2014-01-10T19:36:51+01:00
Bonsoir,

1) Le point C est sur le cercle de centre A et de rayon AB si AC = AB.

AC=\sqrt{(x_C-x_a)^2+(y_C-y_A)^2}=\sqrt{(-6+5)^2+(-4+1)^2}\\\\=\sqrt{(-1)^2+(-3)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\\\\\\AB=\sqrt{(x_B-x_a)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{(-4+5)^2+(-4+1)^2}\\\\=\sqrt{1^2+(-3)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}

Donc AC = AB et l
e point C est sur le cercle de centre A et de rayon AB.

2) Si le point D est un point diamétralement opposé au point C, alors le point A est le milieu de [CD]

Donc :  
(x_A;y_A)=\dfrac{1}{2}(x_C+x_D;y_C+y_D)\\\\(-5;-1)=\dfrac{1}{2}(-6+x_D;-4+y_D)\\\\(-5;-1)=(\dfrac{-6+x_D}{2};\dfrac{-4+y_D}{2})\\\\\\\left\{\begin{matrix}-5=\dfrac{-6+x_D}{2}\\\\-1=\dfrac{-4+y_D}{2}\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}-10=-6+x_D\\\\-2=-4+y_D\end{matrix}\right..\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_D=-4\\\\y_D=2\end{matrix}\right.

Donc D(-4 ; 2)

3) Le triangle BCD est inscrit dans un cercle et son côté [CD] est un diamètre.
Par conséquent, ce triangle BCD est rectangle et [CD] est l'hypoténuse.

4) Dans le triangle BCD, nous avons :

sin(\widehat{BCD})=\dfrac{BC}{CD}

Or  BC=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}=\sqrt{(-6+4)^2+(-4+4)^2}\\\\=\sqrt{(-2)^2+0^2}=\sqrt{4}=2\\\\CD=2\times AC=2\sqrt{10}

D'où  sin(\widehat{BCD})=\dfrac{2}{2\sqrt{10}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}

\widehat{BCD}=sin^{-1}(\dfrac{1}{\sqrt{10}})\approx18,43^o

Par conséquent   \widehat{BAD}=2\times18,43^o=36,86^o
Merci beaucoup! Ça m'a beaucoup aidé!
Avec plaisir :)