Bsr aidée moi su pn éxo svp
soit f la fonction définie sur l'intevalle ]1; - infini [ par : f(x) = lnx- 1/lnx on nomme C la courbe représentative de f et ∧ la courbe d'équation y=lnx
1 étudier les variation de la fonction f et préciser les limite en 1 et en + infini .
2 a. déterminer limx⇒ + infini [f(x)-lnx]. Interpréter graphiquement cette limite.
b. Préciser les position relatives de C et ∧ .
3. on se propose de chercher les tangentes à la courbe C passant par le point O.
a. soit a un réel appartenant à l’intervalle ] 1; + infini [.
Démontre que la tangentes Ta à C au point d'abscisse a passe par l'origine du repére si et seulement si f(a)-a f'(a)=0.
soit g la fonction définie sur l’intervalle ]1;;+infini[ par g(x) = f(x)-xf'(x).
b. montré que sur ]1; +infini[ les équation g(x) =0.

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Réponses

2014-01-09T10:50:54+01:00
Bonjour,

1) f'(x) = (lnx-\dfrac{1}{lnx})'\\\\=(lnx)'-(\dfrac{1}{lnx})'\\\\(lnx-\dfrac{1}{lnx})'=\dfrac{1}{x}-\dfrac{-(lnx)'}{(lnx)^2}\\\\(lnx-\dfrac{1}{lnx})'=\dfrac{1}{x}-\dfrac{-\dfrac{1}{x}}{(lnx)^2}\\\\(lnx-\dfrac{1}{lnx})'=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{xln^2x}\\\\(lnx-\dfrac{1}{lnx})'=\dfrac{ln^2x}{xln^2x}+\dfrac{1}{xln^2x}\\\\(lnx-\dfrac{1}{lnx})'=\dfrac{ln^2x+1}{xln^2x}

Signe de f'(x).

ln²x + 1 > 0 car c'est une somme de deux carrés.
x > 0 car selon Df, x > 1
ln²x > 0 car c'est un carré au dénominateur.

D'où f'(x) > 0 sur ]1;+inf[ ==> f est strictement croissante sur ]1;+inf[.

\lim_{x\to 1,x>1}lnx=0^+\\\\\Longrightarrow \lim_{x\to 1,x>1}f(x)=\lim_{x\to 1,x>1}(lnx)-\lim_{x\to 1,x>1}(\dfrac{1}{lnx})\\\\\Longrightarrow \lim_{x\to 1,x>1}f(x)=0-\infty\\\\\Longrightarrow \lim_{x\to 1,x>1}f(x)=-\infty

\lim_{x\to+\infty}(lnx)=+\infty\\\\\Longrightarrow \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty-0\\\\\Longrightarrow \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty

2a) \lim_{x\to +\infty}(f(x)-lnx)=\lim_{x\to +\infty}(-\dfrac{1}{lnx})=0

Par conséquent la courbe ∧ d'équation y = lnx est une courbe asymptote à la courbe représentative de la fonction f.

b) Les positions relatives de C et ∧ se déterminent par le signe de f(x) - lnx sur ]1;+inf[, soit le signe de -1/lnx sur ]1;+inf[.

Si x > 1, alors lnx > 0  ==>  -1/lnx < 0.

Par conséquent, C est en-dessous de ∧ sur ]1;+inf[.

3a) Une équation de la tangente à Ta à C au point d'abscisse a est de la forme :

y = f'(a)(x-a)+f(a).

Si (0;0) est un point de Ta, alors nous avons : 

0 = f'(a)(0-a)+f(a)
0 = f'(a)*(-a) + f(a)
0 = -af'(a) + f(a)
f(a) - af'(a) = 0

b) Enoncé incomplet...

"b. montré que sur ]1; +infini[ les équation g(x) =0."  ???
merci bcp
desole j'ai oublié sa g(x)= 0 et (lnx)^3-(lnx)^2-lnx-1=0 ont les mêmes solutions.