EXERCICE , merci de m'aider, HELP

Le service des espaces verts veut border un espace rectangulaire de 924m de long sur 728m de large, à l'aide d'arbustes régulièrement espacés. Un arbuste sera planté à chaque angle du terrain, La distance entre 2 arbustes doit etre un nombre entier de mètres.

1) déterminer toutes les valeurs possibles de la distance entre deux arbustes.

2) déterminez, dans chaque cas, le nombre d'arbustes nécessaires à la plantation.

Merci à celui, celle ou ceux qui m'aideront.

1
Est-ce-que c'est avec le PGCD ?
Commence par faire un schéma pour bien visualiser la problématique. C'est hyper important !
oui HelloC'est Moi c'est avec le PGCD

Réponses

2014-01-04T18:20:54+01:00
Raisonnement :
Puisqu'il y a un arbuste à chaque angle on peut dire qu'il y a n arbustes et qu'il y aura
n-1 intervalles entre chaque arbuste.
Ceci étant, il faut que 924 et 728 soient divisibles par n-1 pour avoir une distance entière. 

1) trouver tous les facteurs communs aux deux longueurs 924 et 728
d'abord on décompose en facteurs premiers
924 = 2² x 3 x 7 x 11
728 = 2³ x 7 x 13
On cherche le plus grand diviseur commun
PGCD (924;728) = 2² x 7 = 28
Les valeurs possibles seront donc comprises entre [1 et 28] incluses.

A partir de la décomposition en facteurs premiers de 28, on cherche le nombre de diviseurs de 28 pour connaitre le nombre de valeurs possibles :
(2+1) × (1+1) = 6
Ainsi il y a 6 valeurs

Quelles sont ces valeurs ? On recherche chaque combinaison possible dans la décomposition en facteurs premiers de 84 :
1 ; 2 ; 7 ; 2² ; (2x7) ; (2²x7) ;
Les 6 valeurs possibles de la distance entre 2 arbustes sont :
 1 m ; 2 m ; 4 m ; 7 m ; 14 m ; 28 m.

2) Etant donné que l'on doit border un espace rectangulaire fermé, le nombre d'intervalles est égal au nombre d'arbres.
Tout d'abord calculer le périmètre du rectangle est : [(L + l) ×2]
(924 + 728) x 2 = 3304 m
Le périmètre de l'espace rectangulaire est de 3 304 mètres.

Pour connaitre le nombre d'arbres à planter pour chacune des 6 valeurs possibles de l'intervalle entre chaque arbuste, il suffit de diviser le périmètre par la distance entre deux arbres.
Intervalle :                      Calcul  :            Nombre d'arbres nécessaires :
Distance de 1m   =>  \frac{3 304}{1}  = 3004 arbres
Distance de 2m   => 
 \frac{3 304}{2}  = 1652 arbres
Distance de 4m   => 
 \frac{3 304}{4}  = 826 arbres
Distance de 7m   => 
 \frac{3 304}{7}  = 472 arbres
Distance de 14m => 
 \frac{3 304}{14} = 236 arbres
Distance de 28m =>
 \frac{3 304}{28}  = 118 arbres           
ces deux questions, je ne comprends comment vous avez pu trouver ces résultats là. Pouvez vous m'expliquer ? Merci
ET quand j'ai la correction je comprends mais je suis sure que si l'on me donne un autre exercice équivalent, je ne vais pas avoir cette logique pour arriver à le résoudre. Pouvez vous me dire comment vous faites pour savoir par ou il faut commencer....MERCI
Je t'ai donné tout le détail du raisonnement, on commence par décomposer les données du problème (924 et 728), tu as dû apprendre en 5ème à décomposer. Regarde bien et essaie de le refaire sans regarder et en comprenant la démarche, laisse toi aller et ne complique pas, ça va aller !
je décompose 924 =>
924 divisé par 2 = 462
462 divisé par 2 = 231
231 divisé par 7 = 33
33 divisé par 11 = 3
3 divisé par 3 = 1
donc tu as au final 2² x 7 x 11 x 3
Non ?
Oui jusqu'à la d'accord, je fais de même je suppose pour 728 ? C'est ensuite pour le PGCD, comment vous faites pour trouver que 28 = 2^2*7 ? Car j'utilise une calculatrice qui trouve directement le résultat et me donne seulement 28 comme résultat.