Exercice1
Partie A
soit g la fonction définie sur ]0,+l'infinie[par g(x)=2lnx - x² -2
1)calculer g'(x) puis faire le tableau de variation de g , on calculera les limites.
2)En déduire le signe de g(x)sur ]0,+∞[.
Partie B
on considère maintenant f definie sur ]0,+∞[ par f(X) = -2lnx/x -x+2.
1)a) Calculer la dérivée de f ' de la fonction f et montrer que pour tout x de
]0,+l'infinie[ f ' (x)=g(x) / x² . En déduire le signe de f ' (x)
b) Calculerr les limites de f en 0 et +∞.
c) Dresser le tableaux de variation de f . Donner la valeur exacte de f(1/2), f(1), f(2), f(e).

PS: Je suis dans la grande detresse devant cette exercice alors si quelqu'un pourrais m'aider sa m’arrangerais grandement. Merci d'avance.

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Réponses

Meilleure réponse !
2014-01-03T16:52:30+01:00
1) g'(x) = 2/x - 2x =(2 - 2x²)/x = 2(1-x²)/x  NB vu le domaine x >0
      x           -1     0                     1                       infini
 g'(x)      -    0     |         +           0        -
g(x)                    |-00    /           -3          \            -00
la lim qd x tend vers l'infini n'est pas simple à trouver. On peut se dire que -x² varie beaucoup plus fort vers 00 que lnx ou alors tu entres ta fonction dans "table" et tu donnes des valeurs très grandes à x. Je suis certain du résultat.
2) évidemment la fonction est négative sur le domaine.
Partie B
1) f'(x) = -2((x.1/x - lnx)/x²) -1 = -2(1 - lnx)/x² - 1 
g(x)/x² = (2lnx - x² -2)/x² = 2lnx/x² - 1 - 2/x² = -2(1-lnx)/x² - 1 
f'(x) est donc toujours négative.
b) lim en o lim(lnx/x) = lim(1/x/1) = 00 pour le reste, 0 et 2 donc lim en 0 =00
lim en 00 lim -2lnx/x = -2lim(1/x/1) = 0 - 00 + 2 donc lim en 00 = -00 
pour les racines de f'(x) il faut (-2(1-lnx)-x²)/x² = 0
donc 
-2(1-lnx) = x² ou lnx = 1 + x²/2 pour résoudre ça j'ai besoin de ma calculatrice ,fonction "table" j'entre lnx et 1 + x²/2 et je fais calculer par pas de 0,1 entre 1 et 2 
je conclus que la dérivée n'a jamais de racine et est toujours négative.
comme tableau, tu as la fonction qui varie de 00 à -00  elle a une racine autour de 1,5
valeurs f(1/2) = 4,27 ; f(1) = 1 ; f(2)= -0,693 ; f(e) = -1,454
voilà a fait 560' que je suis dessus j'espère que ça ira, sinon fait signe.