Sujet :
EBF est un triangle isocèle inscrit dans le carré ABCD de côté 5cm avec DE=DF . figure :


On propose de trouver la longueur de EF pour que le triangle EBF soit équilatéral et de construire ce triangle. On appelle x la longueur DF .

A- Valeur approchée de EF
1) Dans quelle intervalle l se situe le nombre réel x ?
2)Exprimer la longueur EF en fonction de x , on notera f(x)
3) Montrer que la longueur BF , notée g(x) est égale à g(x)=racine carré de 50-10x+x²

B-Calcul de EF
1) Montrer en utilisant les résultats de la partie A , que le problème se ramène à résoudre dans l'intervalle l l'équation 50-10x+x² = 2x²
2) Montrer que cette équation peut se ramener à (x+5)² = 75
3) Résoudre l'équation dans l , puis déterminer la longueur EF et comparer au résultat obtenu dans la partie A
C-construction de triangle EBF - Vlaur de cos(15°)
1) Justifier que la droite (BD) est la bissectrise de l'angle EBF.
2) a) Lorsque le triangle EBF est équilatéral, quelle est alors la messure de l'angle CBF ?
b)Exprimer la longeur BF en fonction de cos CBF.
c) En utilisant les résultats des parties A et B, donner la valeur exacte des cos(15°)
Je n'arrive pas, quelqu'un pourrait m'aider svp? :)

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Réponses

2014-01-02T12:56:59+01:00
A) Valeur approchée de EF
1) Dans quelle intervalle l se situe le nombre réel x
?
Si on considère un triangle plat, l appartiens à ]0 ; 5] sinon [0 ; 5]

2) Exprimer la longueur EF en fonction de x , on notera f(x) :
Tu utilises le théorème de Pythagore :
x = DE = DF
EF² = 2x²
Par conséquent :
EF = produit de x par √2.

3) Montrer que la longueur BF, notée g(x) est égale à g(x) = √50 - 10x + x²
AB = BC + CD + DA = 5
FC = (DC - DF) = (5 - x)
Tu utilises à nouveau le théorème de Pythagore :.
BF² = (5 - x)² + 5²
BF² = 25 - 10x + x² + 25
BF² = x² - 10x + 50
BF = √(x² - 10x + 50).

B) Calcul de EF
1) Montrer en utilisant les résultats de la partie A , que le problème se ramène à résoudre dans l'intervalle l l'équation 50 - 10x + x² = 2x²

Comme :
DE = DF
EA = FC
AB = BC + CD + DA =
AB = 5
EB = BF
Il faut chercher la solution de façon à ce que BF = EF
√(x² - 10x + 50) = produit de x par √2.
x² - 10x + 50 = 2x²

2) Montrer que cette équation peut se ramener à (x + 5)² = 75
x² - 10x + 50 = 2x²
x² - 10x + 50 - 2x² = 0
-x² - 10x + 50 = 0
x² + 10x - 50 = 0
Tu factorises :
10x = 2 * 5x
(Pour rappel : (x + a) = x² + 2xa + a²) or 5² = 25 il faut donc ajouter 75)
x² + 10x - 50 + 75 = 0 + 75
x² + 10x + 25 = 75
(x + 5)² = 75

3) Résoudre l'équation dans l , puis déterminer la longueur EF et comparer au résultat obtenu dans la partie A
(x + 5)² = 75
x + 5 = √75
x = 5 √(3) - 5
x = 5(√(3) - 1)
S = {5(√(3) - 1)}

C) Construction de triangle EBF - Valeur de cos (15°)
1) Justifier que la droite (BD) est la bissectrise de l'angle EBF.

Il faut utiliser la relation DC/DF = DA/DE = AC/EF
Vu que nous sommes dans un carré, l'intersection des diagonales est en leurs milieu et donc BD coupe EF en sont milieu.

2) a) Lorsque le triangle EBF est équilatéral, quelle est alors la messure de l'angle CBF ?
Quand le triangle EBF est équilatéral, quelle est alors la mesure de l'angle CBF ?
L'angle EBF est de 60° comme le triangle équilatéral et ABC = 90°
EAB et FCB sont des triangles dont les côtés sont de même longueurs
Angle ABE = angle FBC = (90 - 60) / 2 = 15°
Angle ABD = angle DBC = 45°
Angle ABD = angle DBC = 45 - 15 = 30°

b) Exprimer la longeur BF en fonction de cos CBF.
Cos (FBC) = CB/BF
Cos (FBC) = 5/BF
BF = 5 * Cos (FBC)

c) En utilisant les résultats des parties A et B, donner la valeur exacte des cos (15°)
Tu reprends la réponse du 3) de B)
Cos (15°) = 5 √ (3) - 1)