De nombreux peintres et architectes de la renaissance, en particulier Léonard de
Vinci, ont évoqué l'existence d'un rectangle de proportions "idéales", vérifiant
la propriété suivante:
"Lorsqu'on ôte au restangle considéré un carré
construit sur sa largueur, on obtient un nouveau rectangle, plus petit,
semblable au rectangle d'origine, c'est à dire que les rapports longueur sur
largeur sont les mêmes."

A. On note L et l la longueur et la largeur du
rectangle "idéal" ABCD.
On pose φ = L/l

1. Démontrer que l'on a: l/L
= (L-l)/l et en déduire que φ est solution de l'équation x² - x -1 = 0


2. Vérifier que x² - x -1 = (x - 1/2)² - 5/4
Je bloque sur toutes les questions de l'exercices, aidez moi s'il vous plaît.

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AEFD est un carré. I est le milieu de [ DF]. Le cercle de centre I et de rayon IE coupe la droite (DF) en C. Démontrer que DC/DA=φ. En déduire la construction d'un rectangle d'or connaissant sa largeur.
Soit a le côté du carré. IE²=(a/2)² +a²=5a²/4 donc IE= a*racine(5)/2
IC=IE et DC=IC+a/2= a/2 + a*racine(5)/2=a(1+racine(5))/2)
DA=a, donc DC/DA= (1+racine(5))/2)=phi

Réponses

2013-12-30T16:38:19+01:00
Bonjour,
Le nouveau rectangle à un des côtés qui mesure l et l'autre qui mesure L-l.
Comme il a les mêmes proportions que le rectangle "idéal", nécessairement 
l/L = (L-l)/l (ça ne peut pas être L/l=(L-l)/l sinon ça voudrait dire que L=L-l ce qui serait absurde)
donc I/L=L/l -1
On pose x= φ (=L/l)
ça donne 1/x=x-1
donc x-1-1/x=0
donc (x²-x-1)/x=0
donc x²-x-1=0
2) je te laisse vérifier et ensuite j'imagine qu'il faut calculer φ, donc on factorise
(x - 1/2)² - 5/4= (x-1/2+racine(5/4))(x-1/2-racine(5/4))
donc pour construire un rectangle d'or à partir de sa largeur... on fait comme ça
Tu es d'accord?
Il y a quelque chose qui te gêne?
Non non, c'est parfait, j'ai compris, merci beaucouup !
Quand vous dites on fait comme ça, c'est-à-dire...?