Bonjour, pouvez m'aider à trouver les pistes pour répondre à ces questions, svp : Une entreprise fabrique des vis, au maximum 6 tonnes par mois. Le
coût moyen de fabrication en millier d'euros par tonne, d'une
production mensuelle de x tonnes est donné par C(x), où C est la
fonction définie sur ]0;6] par : C(x)= (0.1e^x+20) / x .

-à l'aide de la calculatrice: -conjecturer en termes de
variation, l'évolution du coût moyen de fabrication dur
l'intervalle ]0;6] -estimer le minimum du coût moyen et la
production mensuelle correspondante -dire s'il est possible
d'atteindre un coût moyen de fabrication de 4000 euros par tonne .
Apres, il faut montrer que,pour tout reel x appartenant à ]0;6] :
C'(x)= (0.1x e^x - 0.1e^x-20) / x^2 -On considère la fonction f
definie su [0;6]: f(x)= 0.1x e^x -0.1e^x -20. -Verifier que pour tout
réel de [0;6]: f'(x)=0.1x e^x.

-Justifier que la fonction f est strictement croissante sur
l'intervalle [0;6]
-Montrer que pour l'equation f(x)=0 admet une seule solution dans
[0;6] (donner la valeur de cette solution arrondie au dixieme près)

- En deduire le signe de f(x) sur [0,6]
-A l'aide des questions precedentes,justifier que le minimum du
cout moyen de fabrication est obtenu pour une production mensuelle de
" " tonnes de vis(" " correspond a la seule
solution trouvée auparavant) .

-Justifier que C(seule solutuion) = 0.1 e^(seule solution).


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Réponses

2013-12-28T16:17:23+01:00
De 1 à 6 les résultats sont les suivants dans l'ordre
20,271 ; 10,369 ; 7,3361 ;6,3549 ; 6,9682; 10,057 
le coût moyen le plus bas semble être obtenu pour x = 4000 et vaut 6 394,9€
c'est un calcul de dérivée
C'(x) = (0,1x.e^x - 0,1xe^x -20 )/x² = (0,1.e^x(x-1)-20)/x²
f(x)= 0.1x e^x -0.1e^x -20 => f(x) =  0,1.e^x(x-1)-20
f'(x) = 0,1e^x(x-1) + 0,1.e^x = 0,1.e^x(x-1+1) = 0,1.x.e^x
pour x appartenant à [0;6] f'(x) >=0 donc f(x) toujours croissante suer l’intervalle
f(0) = -20,1 et f(6) = 181,71
la courbe rencontre donc une seule fois l'axe des x entre 4 et 5
la racine vaut environ 4,15 f(x) est négative avant et positive après.donc comme f(x) était la dérivée de la fonction de départ, on voit que pour 4,15 cette fonction initiale passe par un minimum.
c'est à peu près la réponse trouvée avant (4000 tonnes)