Re bonsoir c'est encore moi :) Dans mon dm j'ai aussi un autre exercice que je ne comprend pas;voici l'énoncé et les questions:

ABC est un triangle.Le plan est muni du repère (A;ABvecteur;AC vecteur) et on considère les points R (-1;0) et Q(0;a) ou a est un nombre réel différent de -1.

1°) a) Prouver que les droites (Bc) et (RQ) sont sécantes.

b) Démontrer que les coordonnées de leur point d'intersection P sont(1-a/1+a;2a/1+a)

2°)M et N sont les points tels que QCBM et ACPN soient des parallélogrammes.

a)Calculer les coordonnées des points M et N.

b)Démonter que les points R,M et N sont alignés.

Merci de votre aide!:)

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Réponses

Meilleure réponse !
2013-12-26T01:01:49+01:00
Bonsoir,

1) a) Coefficient directeur de la droite (BC) :

\dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_A}=\dfrac{1-0}{0-1}=-1

Coefficient directeur de RQ : 

\dfrac{y_Q-y_R}{x_Q-x_R}=\dfrac{a-0}{0-(-1)}=\dfrac{a}{1}=a

Puisque a est différent de -1, les droites sont sécantes.

b) Résoudre le système constitué par les équations des deux droites (BC) et (QR).

Comme nous avons trouvé les coefficient directeurs des deux droites et que les ordonnées à l'origine sont connues, nous avons : 

(BC) : y = -x + 1
(PQ) : y = ax + a.

ax + a = -x + 1
x + ax = 1 - a
(1 + a)x = 1 -a.
x=\dfrac{1-a}{1+a}

y=-x+1=-\dfrac{1-a}{1+a}+1=\dfrac{-1+a}{1+a}+1=\dfrac{-1+a}{1+a}+\dfrac{1+a}{1+a}=\dfrac{2a}{1+a}

D'où  P:(\dfrac{1-a}{1+a};\dfrac{2a}{1+a})

2°) \vec{PN}=\vec{CA}\\\\(x_N - \dfrac{1-a}{1+a};y_N - \dfrac{2a}{1+a})=(0-0,0-1)\\\\(x_N - \dfrac{1-a}{1+a};y_N - \dfrac{2a}{1+a})=(0,-1)\\\\x_N - \dfrac{1-a}{1+a}+0\Longrightarrow x_N = \dfrac{1-a}{1+a}\\\\y_N - \dfrac{2a}{1+a}=-1\Longrightarrow y_N=-1+\dfrac{2a}{1+a}\Longrightarrow y_N=\dfrac{-1-a+2a}{1+a}

\Longrightarrow y_N=\dfrac{a-1}{1+a}

D'où  N:(\dfrac{1-a}{1+a};\dfrac{a-1}{1+a})

\vec{BM}=\vec{CQ}\\\\(x_M-1;y_M-0)=(0-0;a-1)\\\\(x_M-1;y_M)=(0;a-1)\\\\x_M-1=0\Longrightarrow x_M=1\\\\y_M=a-1

D'où  M:(1;a-1)

3)  \vec{RN}=(\dfrac{2}{1+a};\dfrac{a-1}{1+a})\\\\\vec{MR}=(-2;1-a)

Vérifions la colinéarité des deux vecteurs.
 
-2\times\dfrac{a-1}{1+a}-(1-a)\times\dfrac{2}{1+a}=0\\\\\dfrac{-2a+2}{1+a}-\dfrac{2-2a}{1+a}=0\\\\\dfrac{-2a+2-2+2a}{1+a}=0\\\\0=0

Les points R,M et N sont alignés.