Réponses

Meilleure réponse !
2013-12-20T23:35:08+01:00
Bonsoir,

1) z' = 2

\dfrac{iz}{z-i}=2 \\\\ iz=2(z-i)\\\\iz=2z-2i\\\\iz-2z=-2i\\\\(-2+i)z=-2i\\\\z=\dfrac{-2i}{-2+i}=\dfrac{2i}{2-i}\\\\z=\dfrac{2i(2+i)}{(2-i)(2+i)}

z=\dfrac{4i-2}{4+1}\\\\z=\dfrac{-2+4i}{5}\\\\z=\dfrac{-2}{5}+\dfrac{4i}{5}

2) z = 2

z'=\dfrac{2i}{2-i}=\dfrac{-2}{5}+\dfrac{4i}{5}  (voir fin de l'exercice 1)

3)  |z'| = 1

|\dfrac{iz}{z-i}|=1\\\\\dfrac{|iz|}{|z-i|}=1\\\\|iz|=|z-i|\\\\|i||z|=|z-i|\\\\|z|=|z-i|

L'ensemble E1 est l'ensemble des points situés à égales distances du point O d'affixe 0 et du point P d'affixe i(0;1).
Cet ensemble est la médiatrice du segment [OP].

4)  Arg(z')=\dfrac{\pi}{2}

z' est un imaginaire pur.

Sa partie réelle est donc nulle.

Posons z = x + iy

z'=\dfrac{i(x+iy)}{x+iy-i}=\dfrac{ix-y}{x+i(y-1)}=\dfrac{(ix-y)[x-i(y-1)]}{[x+i(y-1)][x-i(y-1)]}\\\\=\dfrac{ix^2+x(y-1)-xy+y(y-1)i}{x^2+(y-1)^2}\\\\=\dfrac{xy-x-xy+[x^2+y(y-1)]i}{x^2+(y-1)^2}\\\\=\dfrac{-x+[x^2+y(y-1)]i}{x^2+(y-1)^2}\\\\=\dfrac{-x}{x^2+(y-1)^2}+\dfrac{[x^2+y(y-1)]i}{x^2+(y-1)^2}

Si la partie réelle de z' est nulle, alors  :

\dfrac{-x}{x^2+(y-1)^2}=0,\ \ soit\ \ x=0

L'ensemble E2 est la droite d'équation x = 0 privée du point d'affixe i, soit l'axe des ordonnées privé du point d'affixe i(0;1).

5) z' est un réel.

Donc sa partie imaginaire est nulle.

En utilisant la fin des calculs de l'exercice 4), nous avons : 

\dfrac{[x^2+y(y-1)]}{x^2+(y-1)^2}=0\\\\x^2+y(y-1)=0\\\\x^2+y^2-y=0\\\\x^2+y^2-y+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}=0\\\\x^2+(y-\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{4}=0\\\\x^2+(y-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}

L'ensemble E3 est un cercle de centre  (0 ; 1/2) et de rayon 1/2, privé du point d'affixe i (0;1).
ainsi que le 5) , je ne vois que jusqu'a la fin du 3) merci beaucoup en tout ça :-)
Je ne peux que t'envoyer un lien qui donnera une copie écran.
Va voir sur ces deux liens :

img844.imageshack.us/img844/2526/cmf1.jpg

img842.imageshack.us/img842/3491/sl6m.jpg
c'est parfait, encore merci, pourrais tu m'aider sur l'exercice 1) étant de la probabilité et les suites de probabilité ? :$
Oui, je pourrais mais vu l'heure, je ne sais pas si je vais rester...
Oui je comprends, comme tu veux c'est a toi de voir..