Bonjour! s'il vous plait c'est vraiment important

démontrer le théorème suivant:
on considère une fonction u définie et monotone sur un intervalle I et k une constante réelle. Si on note v la fonction définie sur I par: v(x)=u(x)+k, alors les fonctions u et v on le même sens de variations sur I.

merci d'avance! :)

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Réponses

2013-12-18T14:14:11+01:00
Bonjour,

Si u est monotone sur I, alors il y a 3 possibilités : u décroissante sur I, u croissante sur I et u constante sur I.

Si u est croissante sur I, alors, pour tous nombres a et b de I tels que a > b, on a
u(a) ≥ u(b).
Ajoutons k aux deux membres de cette inégalité :
u(a)+k ≥ u(b)+k
v(a) ≥ v(b).

Donc v est également croissante sur I.

De même, si u est décroissante sur I, pour tous nombres a et b de I tels que a > b, on a
u(a) ≤ u(b).
Ajoutons k aux deux membres de cette inégalité :
u(a)+k ≤ u(b)+k
v(a) ≤ v(b).

Donc v est également décroissante sur I.

Si u est constante sur I, pour tous nombres a et b de I, on a
u(a) = u(b).
Ajoutons k aux deux membres de cette inégalité :
u(a)+k = u(b)+k
v(a) = v(b).

Donc v est également constante sur I.

Quel que soit le sens de variation de u sur I, v a le même sens de variation sur I.

Si tu as des questions, n'hésite pas! =)
merci! j'ai deux autres théorèmes à démontrer dans le même genre, ça t'embeterai de m'aider? :/
Comme il s'agit d'une autre question, il est préférable que tu postes un autre devoir (si ça ne te dérange pas).
j'ai déjà poster le deuxième théorème que je dois démontrer en fait ^^