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2013-12-16T02:54:56+01:00
Bonsoir,

L'aire d'un disque de rayon R est donnée par la formule : \pi R^2

L'aire d'un demi-disque de rayon R est donnée par la formule : \dfrac{1}{2}\pi R^2

1. 2x est le diamètre AM.
La plus petite valeur de ce diamètre est 0 et la plus grande valeur est 8.
Donc  0\le 2x\le8

0\le x\le4

x\in[0;4]

2) Le diamètre du premier demi-disque est AM = 2x ===> le rayon = x
Le diamètre du deuxième demi-disque est MB = AB - AM = 8 -2x ===> le rayon = 1/2*(8 - 2x) = 4 - x

En utilisant la formule rappelée de l'aire du demi-disque, nous avons : 

f(x) = \dfrac{1}{2}\pi x^2+\dfrac{1}{2}\pi (4-x)^2\\\\f(x) = \dfrac{1}{2}\pi [x^2+ (4-x)^2]\\\\f(x) = \dfrac{1}{2}\pi [x^2+ (16-8x+x^2)]\\\\f(x) = \dfrac{1}{2}\pi (2x^2-8x+16)\\\\f(x) = \dfrac{1}{2}\pi\times2 (x^2-4x+8)\\\\f(x) = \pi(x^2-4x+8)

3) Si l'aire de la partie orange est égale à l'aire de la partie en bleu, alors chacune de ces aires représente la moitié du demi-disque de diamètre AB=8, soit le quart du disque de diamètre 8 (donc de rayon 4)

Or l'aire du disque de rayon 4 vaut  \pi\times4^2=16\pi.


Le quart de de disque aura une aire égale à  \dfrac{1}{4}\times 16\pi=4\pi

Par conséquent, il faudra que  

\pi(x^2-4x+8)=4\pi\\\\x^2-4x+8=4\\\\x^2-4x+8-4=0\\\\x^2-4x+4=0\\\\(x-2)^2=0\\\\x-2=0\\\\x=2.
Par conséquent, l'aire de la partie orange est égale à l'aire de la partie en bleu si x = 2