Bonsoir tout le monde,j'ai encore un très gros problèmes de Mathématiques...
Le Nombre d'or en Géométrie.
1)AIJD est un carré de côté 10cm.M est le milieu de [DJ] et C le point de la demi-droite [Dj) tel que MI=Mc
B est le point tel que ADCB soit un rectangle.
Calculer sa valeur exacte de la longueur MI est en déduire la valeur exacte de la longueur du rectangle ADCB.
2)Vérifier que le rapport "Longueur sur largeur" du rectangle ADCB est égal à Ф.Un tel rectange est appelé Rectangle d'Or.
3)Prouver que IBCJ est un rectangled'Or.
Merci de bien vouloir m'aider...

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Réponses

2013-12-12T23:58:47+01:00
Bonsoir,

1) Par Pythagore dans le triangle MJI rectangle en I, nous avons : 

MI² = MJ² + IJ²
MI² = 5² + 10²
MI² = 25 + 100
MI² = 125
MI=\sqrt{125}=\sqrt{25\times5}=5\sqrt{5}

La longueur du rectangle ADCB est DC = DM + MC
DC = DM + MI
DC = 5 + 5\sqrt{5}=5(1+\sqrt{5})

2) \dfrac{DC}{BC}=\dfrac{5(1+\sqrt{5})}{10}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=\Phi

3) JC = MC - MJ
JC=5\sqrt{5} - 5=5(\sqrt{5}-1)
 
\dfrac{BC}{JC}=\dfrac{10}{5(\sqrt{5}-1)}=\dfrac{2}{\sqrt{5}-1}=\dfrac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}\\\\=\dfrac{2(\sqrt{5}+1)}{[(\sqrt{5})^2-1^2]}=\dfrac{2(\sqrt{5}+1)}{5-1}=\dfrac{2(\sqrt{5}+1)}{4}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}=\Phi

Par conséquent, IBCJ est un rectangled'Or.