Soit ABC un triangle tel que :
AB = 10,4 cm, AC = 9,6 cm et BC = 4 cm.
Sur le segment [AB] on place le point D tel que AD = 7,8 cm.
Le cercle de diamètre [AD] coupe le segment [AC] en E.
2) Démontrer que ABC est un triangle rectangle.
3) Préciser la nature du triangle AED.
4) Démontrer que les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
5) Calculer alors AE.
6) Le triangle AED est une réduction du triangle ABC. Quel est le coefficient de cette réduction ?

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Réponses

2013-12-13T11:36:41+01:00
2) A mon avis le mieux pour cette question est d'utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour vérifier si le carré du plus long côté (l'hypoténuse potentielle)  est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Il faut calculer séparément AB² puis AC² + BC² et ensuite vérifier que AB² = AC² + BC²
Calcul de AB²
AB² = AC² + BC²
AB² = 9,6² + 4²
AB² = 92.16 + 16
AB² = √108,16

Calcul de AC² + BC²
AB² = AC² +BC²
10,4² = AC² + BC²
108,16 = AC² + BC²
√108,16 = AC² + BC²

d'où : AB² = AC² + BC² puisque
10,4² = 9,6² + 4²
108,16 = 92,16 + 16
l'égalité √108,16=√108,16 est vérifiée.
La nature du polygone ABC est un triangle rectangle en C.

3) Préciser la nature du du triangle AED 
Le point E est un point distinct  de A et de D.
On constate que AED forme un triangle inscrit dans le cercle C de diamètre [AD]. Alors on peut en déduire que AED est un triangle rectangle en E (point qui appartient à ce même cercle).

4) Démontrer que les droites (BC) et (DE) sont parallèles. 
BC est perpendiculaire à AC
DE est perpendiculaire à AC
si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. 
d'où (BC) // ( DE) .

5)Calculer alors AE
Utiliser la propriété de Thalès (ou propriété des trois rapports égaux) en précisant les données :
Un triangle ABC ou E 
∈ [AC]

AE/AC = AD/AB=ED/CD

AE/9,6 =7,8/10,4=ED/4
AE/9,6 =0.75
AE=0.75 x 9,6
AE = 7,2 cm vérifie que AE/AC = 7,2 / 9,6 = 0,75

AE = 7,2 cm