Bonsoir à tous,

J'ai besoin de votre aide pour cet exercice. Merci de m'accorder du temps!!

Un responsable d’équipe de conseillers de clientèle traitant des courriers de réclamation s’adresse à son patron car il s’inquiète : « Voyez-vous, Patron, chaque jour mon équipe traite un cinquième de courrier en retard, mais tous les soirs il m’arrive 200 lettres en plus. Ce matin, j’en ai déjà 2500 sur mon bureau. Je ne vois pas comment je vais m’en sortir... » Le patron répond : « dites-moi combien de personnes il vous faut en plus et pour combien de temps, et vous les aurez »

1. Dans cette première partie de l’exercice, on se propose de déterminer le nombre de courriers que l’équipe ne pourra jamais traiter.

(a) Montrer, si on appelle Un le nombre de lettres en retard le nieme jour suivant cette conversation, que l’on a U0 = 2500, Un+1 = 4/5Un +200. Calculer U1, U2 et U3.
(b) On pose Vn = Un − 1000. Calculer V0,V1,V2 et V3. Montrer que Vn+1 = 4/5(Un − 1000).
(c) En déduire que Vn est une suite géométrique et donner sa raison.
(d) En déduire l’expression de (Vn) en fonction de (V0) et de n. Puis montrer que l’on peut écrire Un = 1500(4/5)^n +1000.
(e) Déterminer la limite de (Un) quand n tend vers l’inni. Qu’en concluez vous sur le stock restant impossible à éliminer par l’équipe?

2. Une personne supplémentaire dans l’équipe permet de réduire de 40 courriers par jour le stock "impossible à éliminer". Le chef d’équipe souhaite se débarrasser de ce stock en 5 jours, combien de personnes doit-il demander en plus pendant 5 jours?

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Réponses

2013-12-09T04:11:10+01:00
Bonsoir,

1. (a) Chaque jour, l'équipe traite 1/5 du courrier en retard de la veille. Il reste alors 4/5 de ce courrier auquel on ajoute 200 lettres.
Donc Un+1 = (4/5)Un +200

U1 = 2200  ;  U2 = 1960 ; U3 = 1768.

(b) V0 = 2500 - 1000 = 1500  ;
V1 = 2200 - 1000 = 1200  ; 
V2 = 1960 - 100 = 960  ;
V3 = 1768 - 1000 = 768 

V_{n+1} = U_{n+1} - 1000\\\\
V_{n+1} = \dfrac{4}{5}U_{n} + 200 - 1000\\\\
V_{n+1} = \dfrac{4}{5}U_n - 800\\\\V_{n+1} = \dfrac{4}{5}U_n - \dfrac{4}{5}\times1000\\\\V_{n+1} = \dfrac{4}{5}(U_n - 1000)


(c)  V_{n+1} = \dfrac{4}{5}(U_n - 1000)

V_{n+1} = \dfrac{4}{5}V_n

(Vn) est une suite géométrique de raison 4/5 et de premier terme V0 = 1500.

(d) V_n=V_0\times (\dfrac{4}{5})^n

V_n=1500\times (\dfrac{4}{5})^n

V_n=U_n-1000\Longrightarrow U_n=Vn+1000\\\\U_n=1500(\dfrac{4}{5})^n+1000

(e) On sait que  \lim_{n\to+\infty}(\dfrac{4}{5})^n=0\ \ \ car\ \ 0<\dfrac{4}{5}<1

Donc  \lim_{n\to+\infty}U_n=\lim_{n\to+\infty}\ \ [1500(\dfrac{4}{5})^n+1000]=0+1000=1000

Il restera toujours impossible d'éliminer 1000 lettres à très long terme.

2. Si chaque jour, une personne supplémentaire permet de réduire le stock de 40 lettres, les nombres de lettres Wn du stock forment une suite arithmétique (Wn) de raison -40 et de premier terme égal à W0 = 1000.
Wn = W0 + n * (-40)
Wn = 1000 - 40n

Si le stock est épuisé, alors W0 = 0

0 = 1000 - 40n
n = 1000/40 = 25.

Une personne supplémentaire seule prendrait 25 jours pour épuiser ce stock.
Comme le chef veut que ce stock soit épuisé en 5 jours, il devra engager 25/5 = 5 personnes supplémentaires.