Réponses

2013-12-03T20:47:10+01:00
Bonsoir,

Il existe une solution générale pour calculer ce genre d'expressions : le triangle de Pascal.
C'est une pyramide de chiffres. On commence par 1 en haut, puis on suit 2 règles :
-Chaque nombre est égal à la somme du nombre directement au-dessus et du nombre en haut à gauche.
-On ajoute un 1 à chaque ligne.

Cela nous donne :
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

etc.

Les nombres d'une ligne de cette pyramide sont les coefficients à utiliser pour développer une expression de la forme (a+b)^n, où n est un entier naturel.
Par exemple, pour développer (a+b)² : on lit la 3e ligne et on obtient :
\left(a+b\right)^2 = a^2+2ab+b^2
A chaque nombre, on diminue de 1 la puissance de a et on augmente de 1 la puissance de b, on passe de la plus grande puissance de a à gauche à la plus grande puissance de b à droite.

On utilise le triangle pour calculer les expressions :
\left(a+b\right)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\ \left(a+b\right)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4

On peut ensite appliquer à ton problème en remplaçant a par 1 et b par h, ce qui donne :
\left(1+h\right)^3 = 1^3+3\times 1^2\times h+3\times 1\times h^2+h^3 = h^3+3h^2+3h+1\\
 \left(1+h\right)^4 = 1^4+4\times 1^3h+6\times 1^2\times h^2+4\times 1 \times h^3+h^4 \\= h^4+4h^3+6h^2+4h+1
Et ainsi de suite.

Si tu as des questions, n'hésite pas à les ajouter en commentaire.