Bonjour , j'ai commencer mon dm en maths mais j'aurais besoin d'un peu d'aide avec cette excercice :

Une entreprise développe des jeux , le coût total en milliers d'euros est de :

C(x)=50x-0,1x^{2}+10 avec x appartient [0;100]

La recette est alors de : R(x)=48x

Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût total .

a. Exprimer le bénéfice en fontion de x

b.A partir de combien de jeux vidéo l'entreprise est-elle bénéficiaire ?

c.Montrer que B(x)=0,1(x-10)^{2}-20

d. En déduire le déficit maximal de l'entreprise et le nombre de jeux vidéo à produire pour y parvenir .

e.En déduire le bénéfice maximal de l'entreprise.

( Je n'arrive pas a démarrer l'exercice )

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Réponses

2013-11-25T02:53:31+01:00
Bonsoir,

a) Bénéfice B(x) = Recette - Coût total de fabrication
B(x) = R(x)-C(x)\\\\B(x) = 48x-(50x-0,1x^2+10)\\\\B(x) = 48x-50x+0,1x^2-10\\\\B(x) = 0,1x^2-2x-10

b) Résoudre l'inéquation  B(x)\ge0

0,1x^2-2x-10\ge0

Discriminant du trinôme : (-2)² - 4 * 0,1 * (-10) = 4 + 4 = 8
Racines du trinôme : environ -4,14 et 24,14.
Tableau de signes : 
\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-4,14&&24,14&&+\infty \\ 0,1x^2-2x-10&&+&0&-&0&+&\\  \end{array}
Puisque x ≥ 0, le bénéfice sera maximal si x ≥ 24,14, ce qui représente un nombre de jeux vidéos supérieur ou égal à 25 000.

c) B(x) = 0,1x^2-2x-10

B(x) = 0,1(x^2-20x-100)

Or   (x-10)^2=x^2-20x+100\Longrightarrow x^2-20x=(x-10)^2-100

Donc   B(x) = 0,1[(x-10)^2-100-100]

B(x) = 0,1[(x-10)^2-200]\\\\B(x) = 0,1(x-10)^2-20

d) La forme canonique de B(x) est  B(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

Puisque a = 0,1 > 0, la fonction B admet un minimum \beta.
Ce minimum est atteint pour  x=\alpha

Dans notre cas, le bénéfice sera minimal si x = 10 et ce minimum est égal à -20, ce qui représente un déficit maximal.
Donc, le déficit maximal de l'entreprise est égal à 20 000 € pour une production de 10000 jeux vidéos.

2) Le bénéfice maximal se calcule par B(100) = 0,1(100-10)²-20 = 790.

Ce bénéfice maximal est égal à 790 000 €
Avec un peu plus de précision , on aurait pu écrire :
"ce qui représente un nombre de jeux vidéos supérieur ou égal à 24 143."
:)
Oui , mais j'ai directement arrondi j'espère que mon professeur ne sera pas trop indulgent !
La réponse n'est pas fausse, mais on pouvait encore affiner un peu... Ne t'inquiète pas :)
Ah ca me rassure étant donné que je n'ai jamais été forte en maths ! Mais la il faut vraiment que je prenne des cours xD