On considère la fonction f définie sur l'intervalle I = [0;10] par f(x) = (2x+5) / (x+1) et la droite d d'équation y = 2.

On note Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.

a- Determiner les nombres de a et b tel que, pour tout x de I, f(x) = a+ b / x+1

b- Determiner les variations de la fonction f sur I. Expliquer.

c- Déterminer la position relative de Cf et d. Expliquer.

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Réponses

2013-11-24T19:07:12+01:00
A)
2x+5/(x+1)=a +b/(x+1)
2x+5/(x+1)=(a(x+1) +b)/(x+1)
2x+5/(x+1)=(ax+a+b)/(x+1)
Ces deux expressions sont égales ssi 2x+5=ax+a+b
donc a=2 et a+b=5 donc a=2 et b=3

b) prenons x1 et x2 appartenant à l'intervalle et tels que x1<x2
donc x1+1<x2+1
donc 1/(x1+1)>1/(x2+1) (décroissance de la fonction inverse)
donc 3/(x1+1)>3/(x2+1)
donc 2+3/(x1+1)>2+3/(x2+1)
donc f(x1)>f(x2)
Les images sont placées dans l'ordre inverse des antécédents, donc f est décroissante sur l'intervalle.

c) étudions le signe de la différence f(x)-2
f(x)-2=3/(x+1)
x>=0  donc x+1>0 donc 3/(x+1)>0
donc Cf est au dessus de D