Bonjour, je ne comprends pas grands choses à ce dm de maths.. J'aurai besoin d'aides!
Voici l'énoncé:

On se propose de résoudre le problème suivant:"Peut-on trouver un réel positif qui, une fois élevé au cube, a la même valeur que son double augmenté de 1?"

2) Utiliser la calculatrice pour conjecturer le nombre de solutions positives de l'équation x3 = 2x +1 (ajuster éventuellement la fenêtre graphique)
b) lire les valeurs approchées de chaque solution.

4.a) vérifier que résoudre le problème équivaut à résoudre : x3-2x-1=0 avec x>0
b) justifiez que pour tout réel x : x3-2x-1=(x+1)(x2-x-1)
c) en déduire que résoudre le problème équivaut à résoudre: x2-x-1 avec x>0
d) justifiez que pour tout réel x : x2-x-1=(x-1/2)2-5/4

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Réponses

2013-11-11T23:27:38+01:00
Bonsoir,

2) a) Tu fais construire les graphiques définis par y = x³ et y = 2x - 1.
Tu en demandes les coordonnées des points d'intersections.
b) Les abscisses de ces points sont -1 ; -0,618... et 1,618...

4) a) Si x est le nombre cherché, alors le cube de x est x³ et le double du nombre augmenté de 1 est 2x + 1.
Puisque ces deux nombres sont égaux, on les trouvera en résolvant l'équantion : x³ = 2x + 1 (avec x > 0 puisque l'énoncé cite des réels positifs)

b) Développons (x + 1)(x² - x - 1)
(x + 1)(x² - x - 1) = x³ - x² - x + x² - x - 1
(x + 1)(x² - x - 1) = x³ - x - 1.

c) x³ - x - 1 = 0 (avec x > 0)
(x + 1)(x² - x - 1) = 0 (avec x > 0)
x + 1 = 0  ou x² - x - 1 = 0 (avec x > 0)
La première équation donnerait x = -1 (à rejeter car -1 est négatif).
Il reste donc la seconde équation à résoudre : x² - x - 1 = 0 (avec x > 0)

d) Il faut vérifier que x² - x - 1 = (x - 1/2)² - 5/4 

Développons 
(x - 1/2)² - 5/4.

(x - 1/2)² - 5/4 = (x² - x + 1/4) - 5/4
(x - 1/2)² - 5/4 = x² - x + 1/4 - 5/4
(x - 1/2)² - 5/4 = x² - x - 4/4
(x - 1/2)² - 5/4 = x² - x - 1.

Par conséquent, x² - x - 1 = 0 (avec x > 0) est équivalent à  (x - 1/2)² - 5/4 = 0 (avec x > 0)

(x - 1/2)² - 5/4 = 0
(x - \dfrac{1}{2})^2 - (\dfrac{\sqrt{5}}{2})^2 = 0\\\\\ [(x - \dfrac{1}{2}) - \dfrac{\sqrt{5}}{2}][(x - \dfrac{1}{2}) + \dfrac{\sqrt{5}}{2}]=0\\\\\ [x - \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{5}}{2}][x - \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{2}]=0\\\\\ x - \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{5}}{2}=0\ \ ou\ \ x - \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{2}=0\\\\\ x = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{2}\ \ ou\ \ x = \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{5}}{2}\\\\\ x = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\ \ ou\ \ x = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}

Or x = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618\ \ et\ \ x = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618

Comme x doit être positif, nous avons x\approx 1,618