Une fourmi alléchée par l’odeur du sucre mais paresseuse se demande quel est le plus court chemin pour atteindre l'objet de sa convoitise.
Ce cube a pour côté 3cm. Le sucvre se trouve en S milieu de [A'D'] et la foumir sur [BB'] en M tel que B'M = 2

Sur chacune des faces du cube, la fourmi se déplace en ligne droite et il s'agit donc de trouver en quel point N elle doit couper l'arête [A'B'] pour que la longueur du travjet MN + NS soit la plus petite possible.

A-Une solution approchée
On note x = B'N.
1. Justifie que x appartient à l'intervalle [ 0 ; 3 ]
2. Quelle est la nature du triangle MB'N ? Exprime MN² en fonction de x. Quel théorème utilises-tu ? En déduire l'expression de MN en fonction de x.
3. Exprime la longueur de A'N en fonction de x.
Quelle est la nature du triangle NA'S ? Exprime NS² en fonction de x. En déduire l'expression de NS en fonction de x
4. En déduire que la longueur totale L(x) du trajet en fonction de x est
L(x) =
5. A l'aide de la calculatrice, en rentrant l'expression de cette fonction et en expliquant rapidement ce que vous faites, déterminer une valeur approchée de la longueur minimal du trajet (donnée au centième) et de la valeur de x (caleur approchée au dixième) pour laquelle est est atteinte.
6. En quel point la fourmi doit-elle traverser l’arête [A'B'] ?


B. Une résolution géométrique
On ouvre le cube (figure ci-contre)
1. Représente le patron en vraie grandeur sur une feuille.
2. Repère sur le patron les faces ABCD, ABB'A' ET A'B'C'D' en nommant les sommets des différents carrés. Place alors les points M et S/
3. Quel est, sur ce patron, le plus court chemin de M à S? Trace-le et déduis en la position de N sur [A'B']
4.Détermine par le calcul la longueur x=B'N correspondante. Quel est le théorème utilisé ?
5. Compare avec le résultat trouvé à la partie précédente.

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Réponses

2013-11-11T16:17:51+01:00