Slt tt le mnde !! est ce que qqn pourait m'aider pr cette exercice de preparation de ds svp !! merci d'avance !! <3 <3 <3
U(o)=0
U(n+1)=exp^(2U(n)-2)

1)montrer que 0<U(n)<U(n+1)<0.5
2)en deduire que U(n) converge vers une limite L
3) a l'aide de votre calculatrice donner une valeur approcher de L (facultatif)

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Réponses

2013-11-11T17:07:46+01:00
Bonjour,

1) u_n>0 car une exponentielle est toujours positive.
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Pour démontrer que u_n<u_{n+1}, prenons la fonction f définie par f(x)=e^{2x-2}.
Cette fonction est strictement croissante sur R puisque l'on a : f'(x)=2e^{2x-2}>0.

Démontrons par récurrence que u_n<u_{n+1}.
a) Initialisation : u_0<u_1\ \ car\ \ u_0=0\ \ et\ \ u_1\approx 0,13
b) Hérédité : Pour tout n ≥ 0, si u_n<u_{n+1}, alors montrons que u_{n+1}<u_{n+2}.
En effet : 
u_{n+1}=e^{2u_n-2}
u_{n+1}=f(u_n)
Or u_n<u_{n+1}\Longrightarrow f(u_n)<f(u_{n+1}) puisque f est strictement croissante.

Nous avons ainsi : u_{n+1}=f(u_n)<f(u_{n+1})=u_{n+2}.
L'hérédité est démontrée.
D'où la récurrence a démontré que : u_n<u_{n+1}.
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Démontrons par récurrence que u_{n+1}<0,5.
a) Initialisation : u_0<0,5\ \ car\ \ u_0=0<0,5
b) Hérédité : Pour tout n ≥ 0, si u_n<0,5, alors montrons que u_{n+1}<0,5.
En effet : 
u_{n+1}=e^{2u_n-2}
u_{n+1}=f(u_n)
Or u_n<0,5\Longrightarrow f(u_n)<f(0,5) puisque f est strictement croissante.

Nous avons ainsi : u_{n+1}=f(u_n)<f(0,5)\approx 0,36 < 0,5.
L'hérédité est démontrée.
D'où la récurrence a démontré que : u_{n+1}<0,5.
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2) La suite (u_n) est croissante et majorée par 0.5, 
Elle est donc convergente.
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3) La limite L se trouve en résolvant l'équation : L=e^{2L-2}, soit l'équation e^{2L-2}-L=0

En utilisant la calculatrice pour connaître les racines de la fonction définie par   g(x)=e^{2x-2}-x, nous trouvons les racines 0,20318787... et 1.
Nous ne prendrons que la racine inférieure à 0,5.
Par conséquent : L\approx0,20318787