Jai reussie le 1 mais je suis bloquer donc voila si qqn pourait maider svp c pr demain !! Soit la suite U(n) definie sur N par Uo=10 et Un+1= racine carre de (Un+6)

1)Donnez les valeur approché de U1 U2 U3 à 10^(-2) près
2)soit n un entier naturel montrer si Un > 3 alors Un+1 > 3 et en deduire que tout les termes de la suite sont superieur a 3
3) soit n un entier naturel montrer que (Un+1) - 3 < (Un-3)/6
4) Montrer que pour tout n entier naturel,0<(Un)-3< 7/(6^n)
6)quel est la limite de Un
MERCI D'AVANCE !!! <3

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Réponses

2013-11-11T13:21:29+01:00
Bonjour,

1) u_1=4\ ;\ u_2\approx 3,16\ ;\ u_3\approx 3,03

2) u_n>3\Longrightarrow u_n+6>9
u_n>3\Longrightarrow \sqrt{u_n+6}>\sqrt{9}
u_n>3\Longrightarrow \sqrt{u_n+6}>3
u_n>3\Longrightarrow u_{n+1}>3

La déduction est évidente par récurrence.

3) u_{n+1}-3=\sqrt{u_n+6}-3
u_{n+1}-3=\dfrac{(\sqrt{u_n+6}-3)(\sqrt{u_n+6}+3)}{\sqrt{u_n+6}+3}
u_{n+1}-3=\dfrac{u_n+6-9}{\sqrt{u_n+6}+3}
u_{n+1}-3=\dfrac{u_n-3}{\sqrt{u_n+6}+3}

Or  
\sqrt{u_n+6}>3\Longrightarrow \sqrt{u_n+6}+3>6\\\\\sqrt{u_n+6}>3\Longrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{u_n+6}+3}<\dfrac{1}{6}

Sachant que u_n-3>0, nous pouvons en déduire que 
\dfrac{u_n-3}{\sqrt{u_n+6}+3}<\dfrac{u_n-3}{6}

soit que  u_{n+1}-3<\dfrac{u_n-3}{6}

4) u_{n+1}-3<\dfrac{u_n-3}{6}

Donc u_n-3<\dfrac{u_{n-1}-3}{6}
On en déduit que :   u_{n+1}-3<\dfrac{u_{n-1}-3}{6^2}

Sachant que  u_{n-1}-3<\dfrac{u_{n-2}-3}{6}, on en déduirait que 
 u_{n+1}-3<\dfrac{u_{n-2}-3}{6^3}

Par itération, nous déduirons donc que   
u_{n+1}-3<\dfrac{u_{n-n}-3}{6^{n+1}},
soit que  u_{n+1}-3<\dfrac{u_{0}-3}{6^{n+1}}
ou encore que  u_{n+1}-3<\dfrac{10-3}{6^{n+1}}

 u_{n+1}-3<\dfrac{7}{6^{n+1}}

Par conséquent,  u_n-3<\dfrac{7}{6^n}.

De ce qui précède, nous pouvons alors dire que : 0<u_n-3<\dfrac{7}{6^n}.

5) Sachant que lim_{n\to+\infty}(\dfrac{7}{6^n})=0, par le passage à la limite et en utilisant le théorème des gendarmes, nous déduisons que lim_{n\to+\infty}(u_n-3)=0, soit que  lim_{n\to+\infty}\ u_n=3