1. Soit la fonction définie par ]1;+infini[ par f(X)=X/(X-1).d) Le1. Soit la fonction définie par ]1;+infini[ par f(X)=X/(X-1).
d) Le programme ci-dessous permet de calculer l'image d'un réel X>1 par la fonction g.
PROGRAM:FOFOF
:Prompt X
:X->A
:For(I,1,2)
:A/(A-1)->A
:End
:Disp "F(F(X))="
,A
Saisir ce programme puis le faire fonctionner pour plusieurs valeurs de X.
Quelle conjecture peut-on faire sur la fonction de g ?

e) Démontrer cette conjecture.


C'est urgent s'il vous plait !!!!!!! Merci !

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Réponses

  • Utilisateur Brainly
2013-10-31T16:31:05+01:00
Soit f la fonction définie sur ]1;+infini[ par f(X)=X/(X-1).

a) Montrer que pour tout X>1, on a f(X)=1+(1/(X-1)).
f(x)=x/(x-1)
     =(x-1+1)/(x-1)
     =(x-1)/(x-1)+1/(x-1)
     =1+1/(x-1)

b) En déduire que pour tout X>1, f(X)>1.
si x>1 alors x-1>0
donc 1/(x-1)>0
donc f(x)>1

c) On définit la fonction g par g(X)=f(f(X)). Démontrer que g est bien définie sur ]1;+infini[.

g est définie si f(x) est différent de 1
or f(x)>1
donc f(x)-1>0
donc f(x)-1 non nul
donc g est définie sur IR

d) Le programme ci-dessous permet de calculer l'image d'un réel X>1 par la fonction g.
          PROGRAM:FOFOF
          :Prompt X
          :X->A
          :For(I,1,2)
          :A/(A-1)->A
          :End
          :Disp  "F(F(X))="
          ,A
Saisir ce programme puis le faire fonctionner pour plusieurs valeurs de X.
Quelle conjecture peut-on faire sur la fonction de g ?
on conjecture que g(x)=x

e) Démontrer cette conjecture.

g(x)=f(f(x))=f(1+1/(x-1))
     =1+1/(1+1/(x-1)-1)
     =1+1/(1/(x-1))
     =1+x-1
     =x