Bonjour,

J'ai un exercice de géométrie à faire. je n'ai rien dans mon cours qui se rapporte à ce sujet. Merci de m'aider, voici l'exercice :
on considère deux cercles (C1) et (C2) de centres respectifs A et B. Les points C etG sont leurs deux points d'intersection.
La droite (AC) recoupe le cercle (C) en h et le cercle (C) en E.
La droite (BC) recoupe (C1) en D et (C) en F.

- Démontre que les droites (HG) et (CG) sont perpendiculaires. De meme, que peux-tu dire des droites (GF)et (GC) ?

- Démontre que les points H, G et F ont alignés.


- Quelle est la nature de HDF ? Justifie.

- Démontre que les points D, E, F et H sont cocycliques, c'est-à-dire situés sur un meme cercle (tu préciseras un diamètre de ce cercle).

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Réponses

2013-10-30T14:03:14+01:00
Regarde le schéma joint.

- Démontre que les droites (HG) et (CG) sont perpendiculaires.
On sait que C, G et H appartiennent au cercle C1. Donc le triangle HGC est circonscrit au cercle C1
Le segment [CH], le plus grand coté du triangle, passant par le centre A du cercle, est le diamètre de C1.
or :
si un triangle est inscrit dans un cercle avec son plus grand côté comme diamètre alors ce triangle est rectangle
Donc le triangle HGC est un triangle rectangle en G et les droites (HG) et (CG) sont perpendiculaires.

que peux-tu dire des droites (GF)et (GC) ?
On sait que F, G et C appartiennent au cercle C2. Donc le triangle FGC est circonscrit au cercle C2 .
Le segment [CF], le plus grand coté du triangle, passant par le centre B du cercle, est le diamètre de C2.
or :
si un triangle est inscrit dans un cercle avec son plus grand côté comme diamètre alors ce triangle est rectangle
Donc le triangle FGC est un triangle rectangle en G et les droites (GF) et (CG) sont perpendiculaires.

- Démontre que les points H, G et F sont alignés.
Comme le triangle HGC est rectangle en G alors HGC = 90°
Comme le triangle FGC est rectangle en G alors FGC = 90°
HGF = HGC + FGC
HGF = 90 + 90
HGF = 180°
Donc les points H, G, et F sont alignés

- Quelle est la nature de HDF ? Justifie.
On sait que C, D et H appartiennent au cercle C1. Donc le triangle CDH est circonscrit au cercle C1 .
Le segment [CH], le plus grand coté du triangle, passant par le centre A du cercle, est le diamètre de C1.
or :
si un triangle est inscrit dans un cercle avec son son plus grand côté comme diamètre alors ce triangle est rectangle
Donc le triangle CDH est un triangle rectangle en D et les droites (CD) et et (DH) sont perpendiculaires.
On sait que C,D et F sont alignés puis que D et F sont des points de la droite (BC)
Donc le triangle HDF est un triangle rectangle en D

- Démontre que les points D, E, F et H sont cocycliques, c'est-à-dire situés sur un meme cercle (tu préciseras un diamètre de ce cercle).
On sait que C, E et F appartiennent au cercle C2. Donc le triangle CEF est circonscrit au cercle C2 .
Le segment [CF], le plus grand coté du triangle, passant par le centre A du cercle, est le diamètre de C2.
or :
si un triangle est inscrit dans un cercle avec son son plus grand côté comme diamètre alors ce triangle est rectangle
Donc le triangle CEF est un triangle rectangle en E et les droites (CE) et et (EF) sont perpendiculaires.
On sait que C,E et H sont alignés puis que E et H sont des points de la droite (AC)
Donc le triangle HDF est un triangle rectangle en E.
Donc E est un point du cercle de diamètre [FH]

Le triangle HDF est rectangle en H, donc D est sur le cercle de diamètre [FH].

Les deux cercles ayant le même diamètre donc c'est un seul cercle de diamètre [FH].
Donc les points F, H, D et E sont des points du cercle de diamètre [FH], ils sont cocycliques.