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2013-10-29T18:49:24+01:00
Soit L=FG la Longueur du rectangle et l=FD sa largeur.
Soit ensuite x l'hypothenus et y la base du petit triangle en bas a gauche.
Thales nous dit: L/a = (a-x)/a donc L = a-x.
Ensuite L = a - 2 y, donc y = (a-L)/2 donc y =x/2.
Puis Pythagore nous dit x2 = l2 + y2 donc l2 = x2-y2 = (3/4) x2 donc l =x racine(3)/2
posons b=racine(3)/2 alors l = b x;
L'aire du rectangle est A = f(x) = L l = b x (a-x)
f'(x)= b (a - 2 x) s'annule en x = a/2
donc l'aire max est A = b (a/2) (a/2) = b a2/4 : a2 racine(3)/8

avec donc L = FG = a/2 et l = a racine(3)/4