Bonjour j'ai un dm à faire pendant les vacances et je n'arrive pas du tout à résoudre la question 5.
Voici mon dm :
La suite de Fibonacci est la (Un) définie par U0 = U1 = 1 et Un+2 = Un+1 + Un pour tout entier n.
1) Déterminer les termes de la suite (Un) de U2 à U6.
2) On considère la suite (Vn) telle quz pour tout entier n, Vn = Un+1/Un.
Déterminez les 6 premiers termes de la suite (Vn) sous forme fractionnnaire.
3) Montrer que pour tout entier n, Vn+1 = 1 + 1/Vn.
4) A l'aide de la calculette, déterminer le 20ème terme de la suite (Vn)
Quel semble être le sens de varitation de cette suite et quel semble être sa limite ?
5) On admettra que la limte de cette équation est la solution positive de l'équation 1 + 1/x = x
a) Montrer que l'équation 1 + 1/x = est équivalente à l'équation x^2-x-1 = 0 puis que l'équation x^2-x-1 = 0 est équivalente à l'équation (x - 1/2)^2 - (racine carré de 5/2)^2 = 0
Remarque : Deux équations sont équivalentes lorsqu'elles ont les mêmes solutions.
J'ai deja fait la 1, 2, 3 et la 4 mais je suis pas sur et je n'ai pas fait la 5. Cordialement

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Réponses

  • Utilisateur Brainly
2013-10-23T11:53:31+02:00
La suite Fibonacci est la suite (Un) définie par
U0=U1=1 et Un+2= Un+1+Un pour tout entier n 
1. Déterminer les termes de (Un) de U2 à U6.
il s'agit de la suite de Fibonacci
1;1;2;3;5;8;13;21;34;55;...

2. On considère la suite (Vn) telle que pour tout entier n, Vn = (Un+1/Un). Déterminer les 6 premiers termes de la suite (Vn) sous forme fractionnaire.
V0=1;V1=0,5;V2=0,666;V3=0,6;V4=0,625;V5=0,615;....

3. Montrer que pour tout entier n, V(n+1) = 1 + 1/Vn

V(n) = U(n+1)/U(n)
V(n+1) = U(n+2)/U(n+1)
           =(U(n+1)+U(n))/U(n+1)
           =U(n+1)/U(n+1)+U(n)/U(n+1)
           =1+1/(U(n)/U(n+1))
           =1+1/V(n)

4. A faire sur calculette donc pas besoin d'aide.
laissé au lecteur.......

5. On admettra que la limite de cette suite est la solution positive de l'équation 1 + 1/x = x.
Cela provient de th du point fixe
lim(V(n))=x=lim(V(n+1)

a) Montrer que l'équation 1 + 1/x = x est équivalente à l'quation x²-x-1=0 puis montrer que l'équation x²-x-1=0 est équivalente à l'équation (x -1/2)² - (racine carrée de 5/2)²=0

1 + 1/x = x donc x+1=x²
donc x²-x-1=0
donc x²-x-1/4=5/4
donc (x-1/2)²=(rac(5)/2)²

b) Résoudre cette dernière équation et conclure sur la limite de (Vn).

delta=5
x=(1-rac(5))/2 ou x=(1+rac(5))/2
donc lim(V(n))=(1+rac(5))/2