Bonjour,

Voici l'énoncé de mon exercice :

Dans un repère orthonormé, on donne les points :

A(3;1) , B(2;3) , C(-4;0) , D(-3;-2)

a) Démontrer que ABCD est un parallélogramme.

b) Démontrer de plus que ABCD est un rectangle.

J'ai réussi le petit a) mais je ne sais pas comment démontrer que le parallélogramme est un rectangle.

Je vous remercie d'avance pour votre aide.

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Réponses

2013-10-18T18:14:10+02:00
Bonjour,

On sait que, si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c'est un rectangle.

On cherche donc à montrer que AC = DB. Comme le repère est orthonormé, on peut utiliser la formule :
AC = \sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2 + \left(y_C-y_A\right)^2}\\
AC = \sqrt{\left(-4-3\right)^2 + \left(0-1\right)^2}\\
AC = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt 2\\
\\
BD = \sqrt{\left(-3-2\right)^2 + \left(-2-3\right)^2}\\
BD = \sqrt{5^2 + 5^2}= \sqrt{50} = 2\sqrt{25}

Les diagonales du parallélogramme ABCD sont de même longueur, or si les diagonales d'un parallélogramme sont de même longueur, alors c'est un rectangle, donc ABCD est un rectangle.

Si tu as des questions, n'hésite pas à les ajouter en commentaire.