Tom doit calculer 3,5². "Pas la peine de prendre la calculatrice" lui dit Julie, tu n'as qu'à effectuer le produit de 3 par 4 et rajouter 0,25. 1) Effectuer le calcul proposé par Julie et vérifier que le résultat obtenu est bien le carré de 3,5. 2) Proposer une façon simple de calculer 7,5² et donner le résultat. 3) Julie propose la conjecture suivante : (n+0,5)² = n(n+1) + 0,25 n est un nombre entier positif. Prouver que la conjecture de Julie est vraie (quel que soit le nombre n)

(Je crois que ce sujet a déjà été poser mais je n'ai toujours pas compris ce qu'il fallait faire et comment )

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Réponses

2013-10-17T08:38:08+02:00
1/ (3*4)+.0.25 = 12.25
3.5²= 12.25
2/ (7*8)+0.25 =56.25
7.5²=56.25
3/ (n+0.5)² est de la forme (a+b)²=a²+2ab+b² (identité remarquable)
(n+0.5)² = n² + n + 0.25 = n * (n+1) + 0.25
La conjecture de Julie est donc vraie : en clair, le carré d'un nombre positif terminé par 0.5 (n+0.5)² est égal à la partie entière de ce nombre (n) multipliée par le nombre entier suivant et augmentée de 0.25 ((n * (n+1) + 0.25)).
Exemple: 12.5² =(12*13) + 0.25