On considère la suite (un) définie par u0= 2 et pour tout entier naturel n :
un+1= (1+3un)/(3+un)
On admet que tous les termes de cette suite dont définis et strictement positifs.

1). Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a : un>1

2). a. Établir que pour tout entier naturel n on a : un+1 - un = (1 - un) (1+un)/(3+un)
b. Déterminer le sens de variation de la suite (un).
En déduire que la suite (un) converge

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Réponses

2013-10-13T16:54:05+02:00
U0=2>1
Supposons Un>1
2Un > 2
On ajoute 1 dans chaque membre: 2Un + 1>3
et on ajoute Un dans chaque membre: 2Un+Un+1>3+Un donc 3Un+1>3+Un
or un+1= (1+3un)/(3+un): le numérateur est supérieur au dénominateur donc la fraction est supérieur à 1. Donc un+1>1