Bonjour,

J'ai un DM a rendre , mais là je bloque.
Voici l'énoncé :
_ Le responsable d'un parc municipal, situé au bord d'une large rivière veut aménager une aire de baignade surveillée de forme rectangulaire. Il dispose d'un cordon flottant de 160m de longueur et de deux bouées A et B. On se propose de déterminer comment placer les bouées A et B pour que l'aire de baignade soit maximale.

1) Si la distance de la bouée A à la rive est de 25m, quelle est la longueur de la zone de baignade ? Quelle est alors son aire ?
J'ai répondu : Longueur du point A a la rive = Longueur du point B a la rive = 25M
Donc 160 - (25x2) = 110M
La longueur est 110M

Aire = 110x25 = 2750m²


2) Montrer que la distance x (en m) de la bouée A à la rive varie entre 0 et 80m.
Déterminer en fonction de x la longueur de la zone de baignade.
On désigne par A(x) l'aire, en m² de cette zone, Démontrer que l'expression de A(x) est 160x-2x²
-Là je n'y arrive pas du tout

3) Calculer A(x) pour x variant de 0 a 80, de 10 en 10
J'ai répondu : F(0) = 0
f(10) = 1400
f(20) = 2400
f(30) = 3000
f(40) = 3200
f(50) = 3000
f(60) = 2400
f(70) = 1400
f(80) = 0

4) Dresser un tableau de variation a l'aide de la calculatrice
J'ai répondu : Donc j'ai fait mon tableau x 0 40 80. Fleche qui monte de 0 à 40, et descend de 40 à 80.

5) En utilisant le graphhique, dire pour quelle valeur de x l'aire semble maximale, et quelle semble être la valeur de ce maximum.
J'ai répondu : l'air semble max pour x=40
la valeur de ce maximum semble être 3200

6) Démontrer cette conjecture par le calcul
Et la je sèche, je sais pas du tout.

Pourriez vous m'aider ?

Merci

1
je pense que c'est 130x-x^2 et non 160x-2x² ?
attend j'annule le récédent commentaire
oui... en fait 160 n'est pas le périmètre du rectangle car il suffit de le déployer sur 3 cotés pour isoler une zone, la rive cloture le 4ème. Ca nous fait deux largeurs et une longueur pour le cordon. Donc la longueur c'est effectivement 160-2x et la surface x*(160-2x), ce qui fait 160x-x^2
merci

Réponses

Meilleure réponse !
2013-10-04T14:35:23+02:00
Voici la méthode pour démontrer que 3200 est le maximum
Il faut démontrer que pour tout x 160x-2x^2<=3200
ce qui revient à dire 2x^2-160x+3200>=0
ou encore x^2-160x+1600>=0
on reconnait l'identité remarquable (x-40)^2>=0 ce qui est vrai pour tout x puisqu'un carré est toujours positif ou nul. D'autre part on a bien vérifié que 3200=f(40)
donc 3200 est bien le maximum de f(x) et il est atteint pour x=40